Recordemos que un quasigroup es un par $(Q, \ast)$ donde $Q$ es un conjunto y $\ast$ es un producto binario $$\ast: Q \times Q \to Q$$ satisfying the Latin square property, namely that for all $x, y \in P$ there is a unique $\de P$ such that $y = ax$ and a unique $b \en Q$ such that $y = x b$, or equivalently, that the multiplication table of $\ast$ is a Latin square. A quasigroup $(Q, \ast)$ is a loop iff it has an identity element, that is an element $1$ such that $1\ast x = x = x\ast 1$ for all $x \Q$.
Esta pregunta indaga acerca de la construcción de un bucle $(L, \ast)$ sobre un conjunto $L$ de los cinco elementos (indicar $L = \{1, a, b, c, d\}$) que satisface la involución de la condición de $x^2 = 1$ todos los $x \in L$. Mi respuesta no muestra que solo hay un bucle isomorfismo; su tabla de multiplicación es: $$ \begin{array}{c|ccccc} \ast & 1 & a & b & c & d \\ \hline 1 & 1 & a & b & c & d \\ a & a & 1 & c & d & b \\ b & b & d & 1 & a & c \\ c & c & b & d & 1 & a \\ d & d & c & a & b & 1 \end{array}.$$ (Tenga en cuenta que es no asociativo, como $(ab)d = a \neq ac = a(bd)$.)
Incluso sin la involución de la condición, en este ejemplo es mínima en el sentido de que cualquier lazo de la orden de $< 5$ es en realidad un grupo. (Hasta el isomorfismo hay seis bucles de orden $5$: Este, el grupo de $(\mathbb{Z}_5, +)$, y otros cuatro no grupos).
Por tanto, y dado que este es un ejemplo tanto de mínima y única, es natural preguntar:
Hay más informativo, interesante forma de ver la estructura de bucle $\ast$ $L$ que a través de su tabla de multiplicar? Es decir, surge de forma natural en algún otro valor?
