Probar esto $BF=AF+CF$

Question

En $\Delta ABC$ tales $AB<AC<BC$,y el punto de $D$$BC$, y el punto de $E$ en la prolongación de la línea de $BA$, $$BD=BE=AC$$ Vamos a la circunferencia circunscrita del triángulo $\Delta ABC$$\Gamma_{1}$, y la de la circunferencia circunscrita si el triángulo $\Delta BDE$ $\Gamma_{2}$si $\Gamma_{1}\bigcap \Gamma_{2}=F$

mostrar que

$$BF=AF+CF$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $\angle FED=\angle FBD=\angle FBC=\angle FAC$, y de manera similar a $\angle FDE=\angle FCA$. De ello se desprende que $\triangle FED\sim\triangle FAC$. Esto implica que $FE=FA(\frac{DE}{AC})$$FD=FC(\frac{DE}{AC})$. Finalmente, de acuerdo a Ptolomeo del Teorema sobre el cuadrilátero cíclico $FEDB$, vemos que: $$\begin{align*} (FB)(DE)&=(FE)(BD)+(FD)(BE) \\ &=(FE)(AC)+(FD)(AC) \\ &= (FA)(DE)+(FC)(DE) \end{align*} $$ a partir de que $FB=FA+FC$ sigue.