Primaria de la descomposición de un ideal (ejercicio 7.8 en Reid, de Pregrado Álgebra Conmutativa)

Question

Me gustaría entender cómo utilizar la geometría para resolver el problema 7.8 de Reid libro de Pregrado Álgebra Conmutativa. El problema es el siguiente

Deje $k$ ser un campo y considerar el ideal de $I = (xy, x - yz) \subset k[x,y,z]$. Encontrar un primario de la descomposición de $I$.

Así que la fuga locus $V(I)$ es de los dos ejes $Y$$Z$, y si $I = q_1 \cap \cdots \cap q_n$ todos $q_i$ $p_i$- primaria, se podía adivinar que podemos tomar $p_1 = (x,z)$$p_2 = (x,y)$. Por otra parte, la desaparición de la $xy$ $Z$- eje, pero con el doble de la multiplicidad (es cierto ?), así podríamos adivinar a tomar $q_2 = (x,y)^2$, pero necesitamos $x - yz$ a estar ahí, así que creo que el $q_2 = (xy, y^2, x - yz)$ $q_1 = (x,z)$ daría una descomposición primaria de ideales ($x^2$ automáticamente en $q_2$, no lo necesita).

Pregunta 1: ¿Cómo asegurarse de que estos primos $p_1$ $p_2$ son los únicos ? Podemos calcularlos por $\operatorname{Ass}(k[x,y,z]/(xy,x - yz))$, pero no era capaz de hacerlo.

Pregunta 2 : Es $(x,z) \cap (xy, y^2, x - yz)$ primaria descomposición de $I$ ?

Pregunta 3 : ¿Qué es una mejor manera para llegar a esta respuesta con la intuición geométrica y no algebraicas de fuerza bruta ?

Gracias

Answer 1

Para la Pregunta 2, se muestra que el $(xy,y^2,x-yz)$ $(x,y)$- primaria ideal. Desde $xy = y(x-yz) + z y^2$, $(xy,y^2,x-yz) = (y^2,x-yz).$ Escribir $I_2 = (y^2,x-yz)$. Con el fin de mostrar que el $I_2$ $(x,y)$- primaria ideal, nos muestran que no divisores de cero de a $k[x,y,z]/I_2$ son nilpotent. Observar que $$ k[x,y,z]/(y^2,x-yz) \cong k[y,z]/(y^2). $$ Por lo tanto divisores de cero contener $y$ como un factor, y esto implica que no son nilpotent.

Deje $I_1 = (x,z)$. Nos muestran que $I = I_1 \cap I_2$. Desde $I \subseteq I_i$ $i=1,2$, $I \subseteq I_1 \cap I_2$. Nos muestran que $I_1 \cap I_2 \subseteq I$. Deje $a y^2 + b(x-yz) \in I_1 \cap I_2$ algunos $a,b \in k[x,y,z]$. Desde $a y^2 + b(x-yz) \in I_1$ y $x-yz \in I_1$, $ay^2 \in I_1 = (x,z)$. Esto implica que $a \in (x,z)$ desde $y$ es un no zerodivisor en $k[x,y,z]/(x,z)$. Escribir $a = fx + gz$ algunos $f,g \in k[x,y,z]$. A continuación,$ay^2 = (fx + gz)y^2 = fxy^2 + gzy^2$. Observar que $zy^2 = -y(x-yz) + xy \in I$. Esto demuestra que cada elemento de a$I_1 \cap I_2$$I$. Por lo tanto, tenemos $I = I_1 \cap I_2$ donde tanto $I_i$ son los principales ideales. En particular, es una de las principales de la descomposición de $I$.

Una respuesta a la Pregunta 1 se sigue de esto también.