¿Tener real de los autovalores tienen un sentido geométrico?

Question

Es posible caracterizar el conjunto de real matrices que tienen real de los autovalores geométricamente? Es decir, es posible decir que una lineal mapa de $T$ real de los autovalores si y sólo si se cumple alguna propiedad ${\cal P}$ que tiene una forma geométrica sabor?

Entiendo, por supuesto, que todas las personas están en desacuerdo sobre lo que `geométrico". Aún así, estoy bastante interesado en ver alguna respuestas posibles. Parece plausible que las propiedades de las matrices que son independientes de la elección de la base tienen interpretaciones geométricas.

Ejemplos de la clase de cosas que estoy buscando:

• Lineal en el mapa de $T$ tiene los autovalores dentro del círculo unitario si y sólo si $\lim_k T^k x = 0$ cualquier $x$.
• Lineal mapa en $\mathbb{R}^n$ tiene todos sus autovalores iguales a cero si $T^n x = 0$ cualquier $x \in \mathbb{R}^n$.
• Lineal en el mapa de $T$ $1$ en el conjunto de sus valores propios, si y sólo si tiene un punto fijo.
• Lineal en el mapa de $T$ tendrá una raíz de la unidad en su conjunto de autovalores si y sólo si tiene una órbita periódica.

Answer 1

¿Qué hay de esto? Un par de complejo conjugado autovalores corresponde a un $2$-dimensiones subespacio invariante que se estira y girar trivial. Así que todos los autovalores significa que no hay tales subespacios. Así que para cualquier vector distinto de cero $v$, no es distinto de cero $w$ ortogonal a la misma por lo que, a escala, de la lineal mapa gira el plano de $\text{Span}(v,w)$.

Answer 2

$T^2$ incrusta en un continuo de 1 parámetro real semigroup de transformaciones $(T^2)^\alpha$. Esta es una dinámica de interpretación, no puramente geométrica, pero de cerca.