los valores reales de a $x$ que satisfacen la ecuación de $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}=x$

Question

Todos los valores reales de a $x$ que satisfacen la ecuación de $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}=x$

$\bf{My\; Try::}$ Aquí $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}} = x>0$

Ahora Vamos a $f(x)=\sqrt{1+x}\;,$, Entonces la ecuación de convertir en $f(f(f(x)))=x$

Ahora Aquí $f(x)=x$ ser una de las funciones que satisfacen la ecuación anterior.

Mi pregunta es ¿cómo podemos calcular la función que cumplen por encima funcional de la ecuación.

Ayuda necesaria, Gracias

Answer 1

Con tu comentario $x=\sqrt{1+x}$ debe conducir a una solución.

$$x=\sqrt{1+x} \iff x^2=1+x \iff x^2-x-1=0 \iff x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$

Pero $x=\frac{1+\sqrt5}{2}$ es la única solución positiva. Podemos comprobar que es de hecho la solución mediante el uso de la división larga :

$$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+x}}} = x\iff \sqrt{1+\sqrt{1+x}}=x^2-1 \iff \sqrt{1+x}=x^4-2x^2\\\iff x+1=x^8-4x^6+4x^4 \iff x^8-4x^6+4x^4-x-1=0$$

$$x^8-4x^6+4x^4-x-1=(x^2-x-1)(x^6+x^5-2x^4-x^3+x^2+1)$$

Deje $g(x)=x^6+x^5-2x^4-x^3+x^2+1$, aviso que $\forall x>0, g'(x)>0$, lo $g$ es estrictamente creciente y $g(0)=1>0$, lo $g(x)=0$ no tiene solución en $\mathbb{R}^{*+}$.

Finalmente, $x=\frac{1+\sqrt5}{2}$ es la única solución para el problema.

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Notas : El funcional de la ecuación de $\;(f \circ f \circ f)(x) = x,\forall x>0$ sólo tiene un continuo de solución : $f(x)=x$.

Al estudiar el dominio, usted tiene $f : \mathbb{R}^{*+} \rightarrow \mathbb{R}^{*+}$.

$\forall x \in \mathbb{R}^{*+}$ la imagen por $f$$f(f(x))$$x$, por lo que $f$ es sobre. También si $f(a)=f(b)$,$a=f(f(f(a)))=f(f(f(b)))=b$, por lo que $f$ es inyectiva. Por lo $f$ es de uno a uno. Si $f$ es la disminución de la $f\circ f$ es creciente y $f\circ f\circ f$ es decrasing, sino $id$ es el aumento, es absurdo, por lo $f$ es estrictamente creciente.

Supongamos $f(x)>x$, ya que el $f$ es estrictamente creciente $f(f(x))>f(x)>x$, por lo $x=f(f(f(x))>f(f(x))>f(x)>x$, es imposible. De la misma manera $f(x)<x$ es imposible, por lo $\forall x, f(x)=x$. Por lo $f=id$.

Answer 2

\begin{align}\sqrt{1+{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}}=x&\implies \sqrt{1+{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}}=x\\&\implies \left(1+{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}\right)=x^2\\&\implies\sqrt{1+\sqrt{1+x}}=x^2-1\\&\implies 1+\sqrt{1+x}=x^4-2x^2+1\\&\implies \sqrt{1+x}=x^4-2x^2\\&\implies 1+x=x^4(x^2-2)^2\\&\implies 1+x=x^4(x^4-4x^2+4)\\&\implies x^8-4x^6+4x^4-x-1=0\end{align}Ahora observar que , $$x^8-4x^6+4x^4-x-1=x^8\color{red}{-x^7}-x^6\color{red}{+x^7}-x^6\color{blue}{-x^5}-2x^6\color{blue}{+2x^5}+2x^4\color{blue}{-x^5}+x^4\color{green}{+x^3}+x^4\color{green}{-x^3}\color{violet}{-x^2}\color{violet}{+x^2}-x-1$$Consequently, $$x^8-4x^6+4x^4-x-1=0\implies (x^2-x-1)(x^6+x^5-2x^4-x^3+x^2+1)$$Now observe that the function $$g(x)=x^6+x^5-2x^4-x^3+x^2+1=\left(x^3-1\right)^2+\left(x-1\right)^2\,x^3+x^2 >0$$ for all $x\in \mathbb{R}^+$. So $(x^2-x-1)=0$ and hence $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ es la única solución positiva.

Answer 3

Deje $1+x=y^2$ donde $y>0$ $1+y=z^2$ donde $z>0$.

Por lo tanto, $1+z=x^2$ donde $x>0$.

Por lo tanto, $x-y=(y-z)(y+z)$$y-z=(z-x)(z+x)$.

1. Deje $x>y$. Por lo tanto, $y>z$, que dice que $z>x$. Es la contradicción.

2. Deje $x<y$. Por lo tanto, $y<z$, que dice que $z<x$. Es la contradicción de nuevo.

Id est, $x=y=z$$x=\frac{1+\sqrt5}{2}$.