La pregunta no especifica el coeficiente de campo. Si es el de los números complejos, entonces habría bastado para comprobar que la matriz es nonsingular, ya que cada nonsingular complejidad de la matriz tiene una raíz cuadrada. Si los campos de los números racionales, entonces no hay raíz cuadrada existe para esta matriz. Si es que los números reales, entonces basta con que todos (complejo) autovalores son reales y positivos.
En general, para una nonsingular matriz sobre un campo $K$ de los característicos$~0$, habiendo una división de polinomio característico cuyas raíces son cuadrados en$~K$ (para los números positivos en el caso de $K=\Bbb R$) es una condición suficiente para disponer de una matriz de la raíz cuadrada definida sobre$~K$. La prueba de esto último es el mismo que para el caso complejo: dividir cada restricción $R_\lambda$ a un generalizado espacio propio para $\lambda\in K$ $R_\lambda=\lambda I+N$ $N$ nilpotent, a continuación, $R_\lambda$ tiene raíz cuadrada $\sqrt\lambda\sum_{k=0}^{d-1}\binom{1/2}kN^k$ donde $\sqrt\lambda$ es algo de la raíz cuadrada de$~\lambda$$~K$, e $d$ es el grado de nilpotency de $N$. (Carácter$~0$ es utilizado para los coeficientes binomiales. Tenga en cuenta que uno no necesita encontrar una forma normal de Jordan, sólo la generalización de subespacios propios.)
Para referencias a otros raíz cuadrada de la matriz de preguntas de ver esta respuesta.
Agregó: "En efecto, la condición de la característica$~0$ puede ser debilitado a la característica de no$~2$, ya que los coeficientes binomiales son bien definidos para el caso de que después de la cancelación de todos los impares los factores del denominador en la definición. En efecto, puesto que sólo la existencia de adecuados coeficientes que importa aquí, es suficiente la observación de que $1+X$ $n$- ésima raíz en el poder formal de la serie ring $K[[X]]$ siempre $n$ es invertible en a$~K$ (aquí para $n=2$), que es fácil de mostrar a través de un proceso de Hensel de elevación.
