Serie geométrica doblemente infinita de Eulers

Question

Hace poco me encontré con una "identidad" descubierta por Euler.

$$ E = \cdots + X^3 + X^2 + X + 1 + \frac{1}{X} + \frac{1}{X^2} + \frac{1}{X^3} + \cdots = 0 $$

Puede formalmente obtenemos esta expresión aplicando la fórmula de la serie geométrica ordinaria.

$$ S = 1 + X + X^2 + \cdots = \frac{1}{1-X}$$

$$\Rightarrow E = \frac{1}{1-X} + \frac{1}{1-\frac{1}{X}} - 1 = 0$$

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Descargo de responsabilidad

Antes de que la comunidad me salte encima y empiece a hablar de,

• El radio de convergencia de la serie geométrica
• Validez (o más bien falta de ella) de la manipulación de series divergentes.
• Alguna declaración sarcástica sobre usar esto para probar 1=0.

Calma, sé que lo anterior no es una prueba en $\mathbb{R}$ con la noción habitual de convergencia. Y no estoy afirmando que lo sea. Lo sé todo sobre series infinitas y sumas parciales y épsilons y deltas y todas esas cosas fantásticas.

Se trata de una exploración matemática muy interesante y espero que algunos de ustedes me acompañen.

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Motivación

Ahora bien, la "serie geométrica doblemente infinita" tiene algunas aplicaciones. Una de ellas es que proporciona una idea de cómo determinar la representación de $-1$ como un número p-ádico. Por ejemplo, en el contexto de los llamados $10-adic$ números podemos ver fácilmente de la aritmética que,

$$ \dots \overline{999}. + 1 = 0 $$

Ahora en los reales,

$$1 = \sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} $$

En los números 10-ádicos,

$$ \dots \overline{999} = \sum_{k=0}^\infty 9 \cdot 10^k $$

Lo que significa que podríamos escribir,

$$ 0 = \dots \overline{999}. + 1 = \left( \sum_{k=0}^\infty 9 \cdot 10^k \right)_{\mathbb{Q}_{10}} + \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} \right)_{\mathbb{R}}$$

Así que parece como si de alguna manera esta identidad nos permite relacionar las expresiones para racionales en $\mathbb{Q}_p$ a las expresiones para los racionales en $\mathbb{R}$ .

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Observación

Algo que siempre me ha llamado la atención de la demostración habitual de la serie geométrica finita/infinita es que la fórmula sólo depende de las propiedades algebraicas del sistema numérico. En ese sentido, quizá podamos pensar en esta identidad no como una afirmación sobre los números reales (para los que obviamente no es cierta), sino de alguna manera como una afirmación sobre las propiedades de los campos.

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La cuestión

Quiero saber en qué otros contextos ha resultado útil esta "identidad". Entre las posibles respuestas se incluyen,

• Cualquier aplicación útil de la identidad distinta de la anterior.

• Nociones rigurosas de convergencia para las que la identidad tiene sentido.

• Entornos rigurosos en los que las manipulaciones formales tienen sentido (por ejemplo, de forma similar a como los algebristas piensan en los polinomios, no como funciones sino como entidades algebraicas).

Answer 1

Dejar $z=e^{i\theta}$ la expansión de Fourier ${1\over 2\pi} \sum_{n\in \mathbb Z} 1\cdot e^{in\theta}$ es la expansión de Fourier de un "peine de Dirac", es decir, una suma de distribuciones delta de Dirac en múltiplos enteros de $2\pi$ . Esta serie de Fourier converge perfectamente bien en un espacio tipo Sobolev con norma del espacio de Hilbert $$ \Big|\sum_n c_n\,e^{in\theta}\Big|_s^2 \;=\; \sum_n |c_n|^2\cdot (1+n^2)^s $$ para $s<-1/2$ . En efecto, para funciones suficientemente buenas, el hecho de que sus series de Fourier converjan puntualmente a ellas puede interpretarse como una verificación de que esta distribución se comporta como se afirma.

En particular, el hecho de que esta distribución realmente sea localmente $0$ lejos de los picos de Dirac-delta es una especie de certificación de que "es cero" allí. (Las distribuciones son localizables).

Es decir, las series de Fourier de las distribuciones (periódicas) ciertamente no convergen puntualmente, al igual que las transformadas de Fourier de las distribuciones atemperadas a menudo no lo hacen. Pero estas cosas do sin duda convergen en una topología diferente, y son enormemente útiles.

Answer 2

Podemos verlo como una función dentro de un espacio de funciones. La función $\sum_{n=0}^\infty z^n = \frac{1}{1-z} = \phi(z)$ se encuentra dentro de la Clase Smirnov. Es decir, es una relación de $H^2$ en el círculo unitario, $\mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} : |z|=1\}$ siendo el denominador una función externa. En este caso es sólo un cociente de polinomios. Esto significa que converge en casi todas partes del disco unitario. Hay una excepción notable, $z=1$ .

En este contexto podemos ver sus series como $\phi(z) + \phi(\bar z) - 1$ para casi todos los $z$ en el círculo unitario. Que al menos parece que converge a cero.

Siempre que nos ciñamos al círculo unitario, podemos hacer este mismo tipo de análisis para muchas funciones con coeficientes grandes.