Deje $f:[1,10]\to \Bbb{Q}$ ser una función continua y $f(1)=10,$$f(10)=?$

Question

Deje $f:[1,10]\to \Bbb{Q}$ ser una función continua y $f(1)=10,$$f(10)=?$

$(A)\frac{1}{10}\hspace{1 cm}(B)10\hspace{1 cm}(C)1\hspace{1 cm}(D)$no puede ser obtenida

Yo no podía resolver esta pregunta.Pensé durante muchos minutos,aquí $\Bbb{Q}$ es un conjunto de números racionales.Si $f(1)$ es conocido,que podemos encontrar en $f(10)$?Sospecho,Cálculo tiene algo que ver en la solución.Por favor alguien puede ayudarme en este tema?

Answer 1

Supongamos $f(10) = a \neq 10$ donde $a$ es un racional. A continuación, por el IVT, cada número real entre el $a$ $10$ es alcanzado por la función en el intervalo de $[1, 10]$. (También, si somos estrictos, ya IVT generalmente requiere de funciones reales, estamos utilizando una generalización de la formación profesional inicial: funciones continuas preservar la conexión.)

Ahora entre cada 2 distintas racionales, no es irracional. Así que la función debe tener un número irracional en su imagen. Pero el codominio de la función es la de los números racionales, así que esto es una contradicción. Por lo tanto $f(10) = 10$.

De crédito para el comentario anterior.