La generalización de los valores que de Euler-totient función no toma

Question

Yo estaba leyendo acerca de Euler totient función en la wikipedia, y finalmente me llevó a este libro en google:

Página 74 del libro, los números Primos: la mayoría de las figuras misteriosas en matemáticas Por David G. Wells.

De todos modos, los libros de las listas de muchas afirmaciones sin pruebas, sólo hace referencia a que no puedo encontrar. Yo no podía resolver por mí mismo dijo que no todos los números pares son los valores de $\phi(n)$. La secuencia de incluso los no-valores de $\phi(n)$ comienza:

$14, 26, 34, 38, 50, 62,\dots$

Después de pensarlo un rato, he hecho muy poco progreso. Mirando 14 específicamente, supongo que si tal solución, $a$ $\phi(x)=14$fueron de existir, $(a,m_i)=1$$1\leq i\leq 14$, para algunas de las $m_i\lt a$, por lo que también debe de existir la recíproca $\overline{a_i}$ tal que $\overline{a_i}a\equiv 1 \pmod {m_i}$ por cada $i$. Estoy buscando algo de contradicción, posiblemente de el Teorema del Resto Chino, para mostrar $a$ no puede existir.

Hay alguna manera de generalizar que los valores no son tomadas por $\phi$, o al menos explicar por qué este es el caso? Yo estaba esperando a ver por qué $14$ es el menos número entero tal que esto es cierto, pero los valores de $1$ $13$debe ser tomada de hecho. Supongo que esto también explicaría por qué el 26 es el siguiente valor que no es tomado, mientras que$15$$25$.

Answer 1

Es sólo el trabajo de casos en la factorización prima de $n$. Si $\phi(n) = 14$ $n$ no puede ser divisible por ninguno de los números primos mayores que $7$ (debido a $p-1$ no se puede dividir $14$ por ejemplo de los números primos), y no puede ser divisible por alguno de $5, 7$ porque $4, 6$ no se dividen $14$. Por lo que sólo puede ser divisible por $2$ o $3$. Desde $14$ no es divisible por $3$, $3$ sólo se puede dividir $n$ a lo sumo una vez, por lo $n$ es de la forma $2^k 3$. Pero, a continuación,$\phi(n) = 2^k$; la contradicción.

Del mismo modo, si $\phi(n) = 26$ $n$ no puede ser divisible por ninguno de los números primos mayores que $13$, y no puede ser divisible por alguno de $5, 7, 11, 13$ porque $4, 6, 10, 12$ no se dividen $26$. Por lo que sólo puede ser divisible por $2$ o $3$, y luego el mismo argumento anterior funciona.

Para cualquier valor potencial de $\phi(n)$ una similar, pero no, el argumento debe trabajar; en particular, debe ser posible para poner a prueba en tiempo finito si a un candidato en particular de las obras.

Answer 2

A partir de los comentarios de los A005277 :

Si p es primo entonces las dos siguientes declaraciones son verdaderas. I. 2p es en la secuencia de iff 2p+1 es compuesto (p no es un Sophie Germain prime). II. 4p es en la secuencia de iff 2p+1 y 4+1 son compuestos. - Farideh Firoozbakht (mymontain(A)yahoo.com), diciembre 30 de 2005

Esto cubre la mayoría de sus casos, 50 está cubierto por el siguiente comentario.