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¿Por qué es un conjunto vacío no es un terminal de objetos en categorías $\mathsf{Top}$$\mathsf{Sets}$?

De Awodey: En cualquier categoría $\mathsf{C}$,

un objeto $0$ es inicial si por cualquier objeto, $C$ hay un único morfismos $0 \to C$,

un objeto $1$ es terminal si por cualquier objeto, $C$ hay un único morfismos $C \to 1$.

Primero yo estaba perplejo por el hecho de que podemos hacer las asignaciones de un ajuste a cero para cualquier otro conjunto en una categoría $\mathsf{Sets}$. Pero luego después de haber aceptado conceptualmente, no entiendo por qué no hay un único morfismos a un conjunto vacío de cada objeto en una categoría $\mathsf{Sets}$. Es esto debido a que no se puede asignar un conjunto no vacío a un conjunto vacío (desde nuestra asignación es total), aunque podemos hacer un mapa de un conjunto vacío a un conjunto no vacío?

Por favor, tenga en cuenta, estoy familiarizado con la proposición diciendo: Inicial (terminal) los objetos son únicos hasta el isomorfismo.

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Matt Dawdy Puntos 5479

Es esto debido a que no se puede asignar un conjunto no vacío a un conjunto vacío (desde nuestra asignación es total), aunque podemos hacer un mapa de un conjunto vacío a un conjunto no vacío?

Yep. Una función que toma valores en las entradas. Una función con la que no está vacía de dominio, pero vacío, codominio no puede tomar cualquier valor. (Por el contrario, una función con dominio vacío, pero no vacía codominio no necesita tomar valores porque no tiene entradas.)

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Berci Puntos 42654

Creo que ya respondió a su propia pregunta: Sí, esto es debido a una asignación (en $\mathcal{Set}$) se definen a ser total.

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