Las Variables y constantes de servir a distintos propósitos en primer orden de la lógica, y por eso se comportan de manera diferente en un nivel sintáctico.
El "alcance" de una variable (en una frase), es sólo en la fórmula en la que se define, o la subformula donde se está cuantificado. Ya no sirve para distinguir un elemento específico, sino para representar un conjunto de elementos posibles. Cuando una variable (en una fórmula) se interpreta en una estructura, se puede (y a menudo debe ser interpretada de diferentes maneras. En un sentido, una variable sólo adquiere identidad en una interpretación particular, dentro de una estructura: en una teoría, es un marcador de posición. Es esta comprensión la que nos permite cuantificar sobre las variables.
Constantes, sin embargo, son mucho más global. Se puede reutilizar una constante en muchas fórmulas diferentes, así como para conectarse a ellos. Por ejemplo, si yo quería hablar de la constante de $c$ mayor que todos los números naturales, podría escribir $c > 0, c > S(0), \cdots$, una familia infinita de fórmulas. Para interpretar estas fórmulas en una estructura, necesitaría un número mayor que todos los números naturales. Si $c$ eran simplemente una variable, tendría que escribir $\exists x ( x > 0), \exists x (x > S(0)), \cdots$: cada fórmula sería distinto de los otros, y debo interpretar esta colección de fórmulas en $\mathbb{N}$, incluso a pesar de que no contiene ningún elemento mayor que todos los números naturales. Por otra parte, ciertas teorías (como la teoría de grupos), hacer uso de un distinguido elemento (como el elemento de identidad). Nos gustaría hablar de ese distinguido elemento, en lugar de tratarla como un marcador de posición, que no lo es. No queremos considerar todas las posibles maneras de interpretar los elementos en un grupo como el elemento de identidad: para un grupo fijo, fijo es un elemento de identidad. Como resultado, se podría decir que las constantes de identidad, incluso en una teoría, y de hecho te presentamos la nueva constantes a nuestro idioma si queremos hablar de los modelos más grandes.
