Morfismos en la categoría de anillos

Question

Sabemos que en la categoría de anillos (unitarios), $\mathbb{Z}$ es el objeto itinial, es decir, es el único anillo tal que para cada anillo $A,$ existe un único homomorfismo de anillo $f:\mathbb{Z} \to A$ .

Esto significa, en particular, que $\mathbb{R}$ no satisface esta propiedad, por lo que para un determinado anillo $B$ podemos construir $g:\mathbb{R} \to B$ y $h:\mathbb{R} \to B$ tal que $g \ne h$ .

Hasta ahora, he demostrado que $B$ no puede ser un anillo ordenado y no puede ser $\mathbb{R}^n \ (n\in\mathbb{N})$ . ¿Puede ayudarme a encontrar un anillo de este tipo? $B$ ?

Answer 1

Te equivocas al negar la afirmación de ser un objeto inicial.

Un anillo $R$ es un objeto inicial si y sólo si, para cada anillo $S$ existe un homomorfismo de anillo $R\to S$ y, si $f,g\colon R\to S$ son homomorfismos de anillo, entonces $f=g$ .

La negación de esto se convierte en

$R$ no es un objeto inicial si y sólo si existe un anillo $S$ tal que no hay ningún homomorfismo de anillo $R\to S$ o hay dos homomorfismos distintos $R\to S$ .

Por ejemplo, el anillo $\mathbb{F}_2$ tiene la propiedad de que, si un homomorfismo de anillo $f\colon\mathbb{F}_2\to S$ existe, entonces es único. La razón es obvia: $f(0)=0$ y $f(1)=1$ Además, el hecho de que $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$ .

Así que no hay anillo $S$ con dos homomorfismos de anillo distintos $f,g\colon\mathbb{F}_2\to S$ pero $\mathbb{F}_2$ no es un objeto inicial; de hecho, no hay ningún homomorfismo de anillo $\mathbb{F}_2\to\mathbb{Z}$ .

Answer 2

En otras respuestas se han dicho muchas cosas útiles y (a veces sorprendentemente) verdaderas; permítanme hacer unas simples observaciones.

Para empezar, podrías haber consultado la prueba de lo que implícitamente has utilizado, es decir, que si $\def\Z{\Bbb Z}\Z$ es un objeto inicial, entonces es automáticamente único, hasta el isomorfismo canónico (de hecho, por una vez, hasta el isomorfismo único). La prueba (muy estándar) es la siguiente: supongamos $R$ es otro objeto inicial en la categoría, entonces por suposición hay morfismos únicos $f:\Z\to R$ y $g:R\to\Z$ . Entonces $g\circ f:\Z\to\Z$ es un morfismo y $\Z$ al ser inicial es única y por tanto igual a la identidad de $~\Z$ ; de la misma manera $f\circ g:R\to R$ es un morfismo y $R$ al ser inicial es única y por tanto igual a la identidad de $~R$ de lo que se deduce que $f$ y $g$ son morfismos inversos, por lo que $R$ es isomorfo a $Z$ .

Ahora tomando $\def\R{\Bbb R}R=\R$ está claro que $f:\Z\to\R$ no es suryectiva, por lo que no puede tener una inversa; por (el contrapositivo de) el argumento anterior, esto demuestra que $\R$ no puede ser inicial, y no admite un morfismo $g:\R\to\Z$ en absoluto. [Eso es una pequeña mentira. El argumento utiliza la hipótesis de que $R$ es inicial dos veces: para la existencia de $g$ y para equiparar $f\circ g$ a la identidad de $~R$ uno o el otro debe fallar. Pero es bastante fácil ver que para $R=\R$ el primero falla, y de hecho uno hace tienen la propiedad de que cualquier morfismo $\R\to\R$ es igual a la identidad, aunque hay que trabajar un poco para demostrarlo].

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A continuación, y sin relación alguna, unas palabras sobre la prueba del producto tensorial que $\R$ ni siquiera tiene, como podría sugerir lo anterior, la propiedad más débil de que si un morfismo $\R\to A$ existe, entonces es único. Se puede pensar en el $\otimes$ en la construcción del anillo $S\otimes S$ como similar a la barra de fracciones utilizada para construir $\Bbb Q$ con la siguiente diferencia: en las fracciones decretamos que se puede cancelar (o introducir) factores de igualdad ( $an/nb=a/b$ ), pero para el producto tensorial se decreta que se puede mover un factor a través del $\otimes$ en cualquier dirección ( $an\otimes b=a\otimes nb$ ). La diferencia tiene como consecuencia que mientras las sumas de fracciones siempre pueden combinarse a una sola fracción, las sumas de tensores no siempre pueden.

Los factores que se pueden mover son números enteros (el mínimo), o posiblemente alguna clase mayor $R$ de escalares, que luego deben adjuntarse como $\otimes_R$ para indicar este atributo de la construcción; sirve como un guardián que permite que los elementos de (el anillo) $R$ para cruzar el $\otimes_R$ pero no otros. No obstante, incluso para un $\otimes_\Z$ se puede efectivamente pasar los factores racionales a través de: mover $p/q$ de izquierda a derecha, basta con desplazar un factor $p$ de izquierda a derecha y un factor $q$ de derecha a izquierda (por lo tanto $\otimes_\Bbb Q$ no es realmente diferente de $\otimes_\Z$ ). Sin embargo, no se puede ir más allá de los racionales: $\sqrt2\otimes_\Z1$ y $1\otimes_\Z\sqrt2$ son diferentes, ya que si se pudiera demostrar que son iguales utilizando un número finito de tensor-equivalencias, se habría producido básicamente una fracción $p/q$ igual a $\sqrt2$ , lo cual es imposible. (Una prueba formal requiere trabajo).

Como comentario final: el anillo $\Bbb Q$ y los campos finitos $\Z/p\Z$ con $p$ primos tienen la propiedad de que los morfismos a partir de ellos son únicos si existen. Estos son exactamente los campos primos: campos sin subcampos propios.

Answer 3

Es más fácil demostrar que para un determinado anillo $B$ allí no es ningún homomorfismo de anillo $\mathbb R\to B$ . De hecho, podemos tomar $B=\mathbb Z$ .

Supongamos por el contrario que $h:\mathbb R\to\mathbb Z$ es un homomorfismo. Buscamos una contradicción.

Si hay algún dato no nulo $a\in\mathbb R$ tal que $h(a)=0$ Entonces hemos terminado, porque entonces $h(1)=h(a^{-1}a)=h(a^{-1})h(a)=h(a^{-1})\cdot 0 = 0$ , lo que no está permitido para un homomorfismo de anillo unitario.

Consideremos lo que $h(\sqrt 2)$ es. Como se argumentó anteriormente no puede ser $0$ por lo que debe ser algún número entero no nulo $n$ . Supongamos que $n$ es positivo (el otro caso es similar). Entonces $$ \underbrace{h(\sqrt2/n)+\cdots+h(\sqrt2/n)}_{n\text{ times}} = h(\underbrace{\sqrt2/n+\cdots+\sqrt2/n}_{n\text{ times}}) = h(\sqrt2)=n$$ pero la única manera de que esto sea cierto es si $h(\sqrt2/n)=1$ y por lo tanto $$ h(\sqrt2/n-1) = h(\sqrt2/n)-h(1) = 1-1 = 0 $$ Sin embargo, $a=\sqrt2/n-1$ es irracional y por lo tanto en particular no es cero, por lo que esto lleva a una contradicción como la anterior.

Answer 4

De hecho, existe un anillo universal con dos morfismos distintos de $\mathbb{R}$ el anillo $\mathbb{R}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{R}$ .

No estoy seguro de si tiene cocientes bien presentados con la misma propiedad.

Answer 5

$\mathbb{R}$ tiene dos incrustaciones distintas en el producto tensorial $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$ dado por $r\mapsto r\otimes 1$ y $r\mapsto 1\otimes r$ .

Estas son las dos inclusiones que provienen del hecho de que el producto tensorial es el coproducto en la categoría de anillos.