Estoy tratando de probar que todo espacio vectorial $X$ tiene una norma. Tengo algunas preguntas tontas, pero es mejor preguntar que ahora en lugar de más tarde. Creo que estoy teniendo un poco de problemas para conseguir intuición acerca de las bases en espacios de infinitas dimensiones.
Revisión de una base de Hamel ${\cal B} = ({\bf e}_i)_{i \in I}$. A continuación, para todos los ${\bf x} \in X$, podemos escribir: $${\bf x} = \sum_{i \in F}a_i{\bf e}_i,$$ for some $F \subconjunto I$ finite. I understand that this combination is unique in the sense that: $$\sum_{i \in F_1}a_i{\bf e}_i = \sum_{i \in F_2}b_i{\bf e}_i,$$ for some $F_1,F_2 \subconjunto I$ finite, implies that $a_i = b_i$ for all $i \en F_1 \cap F_2$ and $a_i = 0$ for all $i \en F_1 \setminus F_2$, and $b_i = 0$ for all $i \en F_2 \setminus F_1$.
¿Significa esto que la $F_1 = F_2$?
Suponiendo que sí, aunque no estoy seguro, la idea sería definir algún tipo de max norma, que sería bien definido: $$\|{\bf x}\| = \max\{|a_i| \mid i \in F \}.$$ This idea seems good, it even showed up in another answer. The properties $\|{\bf x}\| \geq 0$ for all ${\bf x}\in X$, $\|{\bf x}\| = 0 \implica {\bf x}=0$ and $\|\lambda{\bf x}\| = |\lambda|\|{\bf x}\|$ are all clear. I'm having trouble getting the triangle inequality. How to make a sum here is a bit confuse to me. If ${\bf x},{\bf y}\in X$, then there are $F_1,F_2 \subconjunto I$ finite such that: $${\bf x} = \sum_{i \in F_1}a_i{\bf e}_i, \quad \text{and}\quad {\bf y}=\sum_{i\in F_2}b_i{\bf e}_i,$$ so that $${\bf x}+{\bf y} = \sum_{i \in F_1 \setminus F_2}x_i{\bf e}_i + \sum_{i\in F_1 \cap F_2}(a_i+b_i){\bf e}_i + \sum_{i \in F_2 \setminus F_1}b_i{\bf e}_i.$$ I wanted to write this as $\sum_{i \in \text{ algo}}c_i{\bf e}_i,$ but the only thing I could think of was: $$\sum_{i \in F_1 \cup F_2}c_i{\bf e}_i, \quad c_i = \begin{cases} a_i, \text{ if }i \in F_1 \setminus F_2 \\ a_i+b_i, \text{ if }i \in F_1 \cap F_2 \\ b_i, \text{ if }i \in F_2 \setminus F_1\end{cases}$$
Pero, de nuevo:
Esta combinación es única en el sentido de que la única combinación posible para el vector ${\bf x}+{\bf y}$ será indexado por $F_1\cup F_2$?
Creo que estoy complicar las cosas. Puedo conseguir la desigualdad de triángulo con esto, es que parece, pero las cosas no se ven bien definidos suficiente para mí. Alguien puede responder a estas preguntas y me dan una pequeña explicación al respecto? Gracias.
Edit: para confirmar lo que he entendido de gerw la respuesta: dado que la combinación es única, si yo escribo $${\bf x}=∑_{i∈F_1}a_i{\bf e}_i=∑_{i∈F_2}b_i{\bf e}_i,$$ para $F_1,F_2⊂I$, conjuntos finitos, entonces: $\max\{|a_i|∣i∈F_1\}=\max\{|b_i|∣i∈F_2\}$, y esto asegura que el $\|\cdot\|$ está bien definido, derecho?
