Es bien conocido que $$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots = \ln 2 $$ De ahí $$\frac{x}{1}-\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\cdots= x\ln 2 $$ However, consider $f(x)$, donde $$f(x)=\left\lfloor\frac{x}{1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots $$ and $\lfloor t\rfloor$ denotes the floor function. Can anyone determine and prove the asymptotic behaviour of $f(x)$? Tal vez incluso un buen término de error igual de bien o incluso el segundo término de la asintótica de expansión? Supongo que $$ f(x) \sim x \ln 2$ $ , pero no puede demostrarlo.
Edit: creo que puede haber resuelto mi problema. La infinita suma es igual al límite de la suma parcial como la cantidad de términos tiende a infinito. El primer $n$ términos se puede aproximar al caer el piso de la función de los signos, a un costo de un error de $O(n)$, dejando a uno con $$\frac{x}{1}-\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\cdots + (-1)^{n+1}\frac{x}{n} + O(n)$$ The alternating sum multiplied by $x$ is almost $ x \ln 2$ and the error in approximating the partial sum as the infinite sum is $O(\frac{1}{n})$, since the series is alternating. Hence, the error introduced by approximating $$ \frac{x}{1}-\frac{x}{2}+\frac{x}{3}-\frac{x}{4}+\cdots + (-1)^{n+1}\frac{x}{n}$$ as $x \ln 2$ is $O(\frac{x}{n})$ y así la n-ésima suma parcial es igual a $$ x \ln2 + O\left(\frac{x}{n}\right) + O(n)$$ But $n$ is independent of $x$ and so we minimise the error by letting $n=\sqrt x$ dando el resultado final $$f(x)= x \ln2 + O(\sqrt x) $$ Creo que no he hecho ningún error en esta solución.
