Yo sé que si usted toma el poder conjunto de un conjunto, tiene una mayor cardinalidad. Por lo tanto, hay un número infinito de ellos como $P^{n}(\mathbb{N})$(la enésima potencia conjunto de los naturales) digamos $$C_{n} = P^{n}(\mathbb{N})$$ My question is: Given $C_n$ and $C_{n+1}$ son allí los números cardinales entre ellos? O ¿tomar un juego de poder, siempre le dan la "próxima gran cardenal".
NOTA: no sé la notación formal para los cardenales.
No necesariamente.
El estándar de los axiomas de la teoría de conjuntos, $\sf ZFC$ no puede probar ni refutar si o no, dado un conjunto infinito $A$ hay un cardenal entre la de $|A|$$\mathcal P(A)$.
Para llegar a la "próxima cardenal" utilizamos un método diferente, que se basa en el hecho de que los cardenales en la moderna teoría de conjuntos son ordinales, y que podemos demostrar que no es menos ordinal cuya cardinalidad es mayor que un determinado cardenal. Esta jerarquía, que comienza con $\aleph_0=|\Bbb N|$ se llama la $\aleph$ números.
Podemos hablar de los cardenales de conjuntos de poder, y estos definen una jerarquía de llamada $\beth$ números. Es decir, $\beth_0=|\Bbb N|$$\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_\alpha}$.
(Ambas jerarquías incluyen "límite de etapas", y en ambos casos se parte de "la más pequeña de cardenal posible". Pero eso no es importante ahora.)
Tal vez se debe señalar también, que si consideras $\bigcup\mathcal P^n(\Bbb N)$ se obtiene un conjunto cuya cardinalidad es estrictamente mayor que todas las cardinalidades de $\mathcal P^n(\Bbb N)$. La cardinalidad de este conjunto se denota por a $\beth_\omega$, y es un límite cardenal a la que me refería antes. La jerarquía, a continuación, sigue adelante, a $\beth_{\omega+1},\beth_{\omega+2}$ y así sucesivamente. Para entender mejor esta jerarquía (así la $\aleph$ números) que usted debe aprender más acerca de los números ordinales.
No necesariamente en ZFC; esta es la generalización de la Hipótesis continua cuando usted está preguntando acerca de la infinita cardenales, que se muestra para ser independiente de ZFC.
Nota: la pregunta "¿tomar el poder establecer dar el "siguiente mayor cardenal'" es la generalización de la Hipótesis continua cuando se limita a infinito cardenales, pero la afirmación de que $\mathcal{P}^{n+1}(\mathbb{N})$ es el menor cardinal mayor que $\mathcal{P}^n(\mathbb{N})$ es estrictamente más débil.
Sin embargo, es importante tener en cuenta que es falso, para finito de cardenales; hay cardenales entre el$2$$2^2=4$, por ejemplo, ($3$).
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