Propiedades de la Norma de Rastreo

Question

Dejemos que $\|A\|_1=\operatorname{trace}(\sqrt{A^* A})$ . Ya demostré que para matrices unitarias arbitrarias $U$ y $V$ , $\|UAV^*\|_1=\|A\|_1$ y $\|A\|_1=\sigma_1+\dots+\sigma_k$ . Ahora me gustaría demostrar que $\|A\|_1$ define una norma matricial, $A\in M_{m\times n}\mathbb (C)$ .

1) $\|A\|_1=0\Leftrightarrow A=0$ . Ya lo he demostrado.

2) $\|\lambda A\|_1=|\lambda|\|A\|_1$ Esto también.

3) $|\operatorname{trace}(A)|\leqslant \|A\|_1$ . No estoy seguro, mi idea es utilizar $A=U\Sigma V^*$ .

4) $\|BA\|_1\leqslant \|B\|\|A\|_1$ para $B\in M_{l\times m}\mathbb (C)$ y $\|B\|=\sup\frac{\|Bx\|}{\|x\|}=\max\{\sigma_1,\dots,\sigma_k\}$ . Mi idea es utilizar de nuevo la descomposición del valor singular para $A$ y una descomposición polar para $BA$ .

5) $\|A\|_1=\sup_{\|B\|\leqslant 1}|\operatorname{trace}(BA)|$ con $B\in M_{n\times m}\mathbb (C)$ y $A\in M_{m\times n}\mathbb (C)$ Aquí no tengo ni idea.

6) $\|A+A'\|_1\leqslant\|A\|_1+\|A'\|_1$ con $A,A'\in M_{m\times n}\mathbb (C)$ Esto puede seguirse de 5).

Si pudieras ayudarme con los puntos 3)-5) te lo agradecería mucho.

Answer 1

He aquí algunas (edito: más) ideas: En primer lugar, parece útil limitarse a las matrices cuadradas "elevando al cuadrado" A como en esta referencia (p. 2 abajo de http://www.drhea.net/wp-content/uploads/2011/11/vonNeumann.pdf - sólo hay que añadir ceros a $A$ para hacerla cuadrada, lo que no afecta a la SVD, excepto algunas diagonales para $U$ o $V$ y algunos ceros a $\Sigma$ ).

3. (Creo que esto, de todos modos, sólo debería mantenerse si $A \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ es una matriz cuadrada). En ese caso, creo que se puede demostrar esto considerando $$\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(U\Sigma V^*) = \mathrm{tr}(\Sigma V^*U) = \sum_i(\Sigma e_i)\cdot(V^*U e_i) \le \sum_i \| \Sigma e_i \| \| V^*U e_i \|\\ \le \sum_i \sigma_i.$$ (Nota $U,V,\Sigma$ son todos cuadrados ahora).

4. En primer lugar, supongamos la desigualdad de la traza de von Neumann ( http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%27s_trace_inequality ). Esta desigualdad implica $|\mathrm{tr}(BA)| \le \|B\| \|A\|_1$ es decir $\sup_{\|B\|\le 1} |\mathrm{tr}(BA)| \le \|B\| \|A\|_1$ . La otra dirección sigue con la elección $B=VU^*$ , donde $U,V$ unitarios son tales que $A=U\Sigma V^*$ es decir $\sqrt{A^*A} = V \Sigma V^*$ porque entonces $\mathrm{tr}(BA) = \mathrm{tr}(VU^* U\Sigma V^*) = \mathrm{tr}(V\Sigma V^*) = \|A\|_1$ .

La declaración $|\mathrm{tr}(AB)|\le ||B||\cdot |\mathrm{tr}(A)|$ es falsa en general, considere la matriz $A=B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}$ . $|\mathrm{tr}(AB)|=2$ mientras que $|\mathrm{tr}(A)| = 0$ .

4. Ahora deducimos 4) a partir de 5) y de la desigualdad de la traza de von Neumann: $\|BA\|_1 = \sup_{\|C\|\le 1}|\mathrm{tr}(CBA)| \le \sup_{\|C\|\le 1}|\|B\|\mathrm{tr}(CA)| = |\|B\| \|A\|_1$