Si $f$ es una función positiva y monótona decreciente, demuestre que $\int_0^1xf(x)^2dx \int_0^1f(x)dx\le \int_0^1f(x)^2dx \int_0^1xf(x)dx$

Question

Si $f$ es una función positiva y monótona decreciente, demuestre que

$\int_0^1xf(x)^2dx \int_0^1f(x)dx\le \int_0^1f(x)^2dx \int_0^1xf(x)dx$

Answer 1

Considere la función $g$ definido en $[0,1]^2$ por $$g(x,y)=\tfrac12(x-y)(f(x)-f(y))f(x)f(y)$$ Entonces, por un lado, $g\leqslant0$ en $[0,1]^2$ ( ¿Por qué? ). Por otro lado, la ampliación de $g(x,y)$ en la suma de cuatro términos como $xf(x)^2f(y)$ o $xf(x)f(y)^2$ se obtiene la identidad $$ \iint_{[0,1]^2} g(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\int_0^1xf(x)^2\mathrm dx\cdot\int_0^1f(x)\mathrm dx-\int_0^1xf(x)\mathrm dx\cdot\int_0^1f(x)^2\mathrm dx. $$ Dado que el LHS es $\leqslant0$ Esto demuestra la desigualdad deseada.