Así, en la obra de Ireland y Rosen, "Introducción clásica a la teoría moderna de números", mencionan el siguiente hecho increíble al final del capítulo 13, sección 1. Supongamos que $p \neq 3$ y $p \equiv 3 \pmod 4$ y $\mathbb Q[\sqrt{p}]$ tiene la clase número uno. Deja que $\sqrt{p}=[a_{0}, \overline{a_1 ,\ldots a_{n}}]$ ser su continua expansión fraccionaria. Entonces $\frac{1}{3}(a_n - a_{n-1} + \ldots \pm a_1)$ es el número de clase de $\mathbb Q[\sqrt{-p}]$ . El hecho se atribuye a Hirzebruch, y no tengo ni idea de cómo se demuestra, y soy incapaz de encontrar una prueba. Hablando con un profesor e investigando un poco he descubierto que tiene algo que ver con la superficie modular de Hilbert. Agradecería que me ayudaran a comprender este increíble hecho.
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Muy interesante.
Esto se explica en
Hirzebruch, F. Superficies modulares de Hilbert y números de clase. Coloquio "Analyse et Topologie" en honor de Henri Cartan (Orsay, 1974), pp. 151-164. Asterisque, nº 32-33, Soc. Math.France, París, 1976.
De la reseña de Math.Sci.Net:
Se trata de un estudio, en gran parte sin pruebas, de trabajos recientes del autor, realizados en parte en colaboración con D. B. Zagier, sobre la geometría de la(s) superficie(s) modular(es) de Hilbert asociada(s) a una cuadrática real concentrándose particularmente en la aparición de los números de clase.
... y más adelante en la revisión ...
A continuación, presenta las superficies modulares de Hilbert: la compacta y la resuelta. acciones de subgrupos de congruencia de SL2 sobre los enteros del campo cuadrático real, actuando sobre H × H. H. Esboza los resultados [op. cit.] sobre la firma del cociente y cómo, como consecuencia de todas las consideraciones anteriores, uno es capaz de expresar, para un primo p de forma 4m - 1, p > 3, el número de clase del campo cuadrático de discriminante -p en términos del período de la fracción continua continua para $p^{1/2}$ siempre que el número de clase del campo cuadrático de discriminante 4p sea uno.
¡Por fin he encontrado una referencia! Gracias a Jared Weinstein por facilitarme la referencia y a Jeremy Booher por la excelente exposición.
http://math.stanford.edu/~jbooher/expos/hilbert_modular_surfaces.pdf
