Demuestre que la convergencia de la secuencia ( $s_n$ ) implica la convergencia de ( $s_n^3$ )

Question

Creo que tengo la idea de cómo probar esto. Mi profesor elaboró un problema similar a éste sólo que, en lugar de ( $s_n^3$ ), utilizó ( $s_n^2$ ), y estoy un poco confundido en cuanto a cómo llegó a ciertas partes de su prueba. La siguiente es la prueba que nos dio para ( $s_n^2$ ). Creo que después de entender mejor su prueba, puedo demostrar el problema original más fácilmente. Así que, por favor, no publique la solución a la pregunta original.

Prueba {la convergencia de la secuencia ( $s_n$ ) implica la convergencia de ( $s_n^2$ )}
Dado que el lim ( $s_n$ )=s, sabemos que ( $s_n$ ) está acotada.
Es decir, existe $M\in R$ tal que $|s_n|$ $\le$ M para todos $n\in N$
Ahora, por cada $\varepsilon >0$ tenemos lim ( $s_n$ ) $=s$ . Trabajando en $\varepsilon/(M+|s|)>0$ existe $N\in R$ tal que $|s_n-s| \le \varepsilon /(M+|s|)$ siempre que $n>N$ Por lo tanto, para todos $n>N$ , $|s_n^2 - s^2| = |s_n - s|*|s_n + s| \le |s_n - s|(|s_n|+|s|) \le |s_n - s|*(M + |s|)< \varepsilon$

Lo que demuestra que lim $(s_n^2)$ = $s^2$ .

La siguiente es mi prueba para el problema actual (que está en el título).
Avísame si he hecho algo incorrecto.

Prueba
Dado que el lim ( $s_n$ )=s, sabemos que ( $s_n$ ) está acotada.
Es decir, existe $M > 0$ tal que $|s_n|\le M$ para todos $n\in \mathbb{N}$
Ahora, por cada $\varepsilon >0$ ya que lim ( $s_n$ )=s, trabajando en $\varepsilon /(3M^2)>0$ ,

existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $|s_n-s| < \varepsilon /3M^2$ siempre que $n>\mathbb{N}$
Por lo tanto, para todos los $n>\mathbb{N}$
$|s_n^3 - s^3|$ = $|s_n - s|$ $|s_n^2 + s_n*s + s^2| \le$ $|s_n - s|$ $(|s_n^2|+|s_n||s|+ |s^2|) \le$ $(|s_n|^2+|s_n||s|+ |s|^2) \le$ $|s_n - s|*(M^2 + M*M + M^2) \le$ $|s_n - s|*(3M^2)< \varepsilon$

Lo que demuestra que lim $(s_n^3)$ = $s^3$

Answer 1

Como usted señala, si $s_n\to s$ entonces $|s_n|\le M$ para algunos $M>0$ . Obsérvese que esto implica que $|s|\le M$ también. En este caso, tiene $$s_n^3-s^3=(s_n-s)(s_n^2+s_ns+s^2).$$ Tenga en cuenta que $$|s_n^2+s_ns+s^2|\le|s_n^2|+|s_ns|+|s^2|=|s_n|^2+|s_n||s|+|s|^2\le M^2+M\cdot M+M^2=3M^2,$$ donde en el primer paso utilizamos la desigualdad del triángulo, y en el tercer paso utilizamos que ambos $|s_n|\le M$ y $|s|\le M$ . Pero entonces $$|s_n^3-s^3|=|s_n-s|(|s_n^2+s_ns+s^2|)\le |s_n-s|3M^2.$$ Utilizando la definición de convergencia, dado $\epsilon>0$ , elige $N$ para que si $n\ge N$ entonces $|s_n-s|<\epsilon/3M^2$ . Entonces $$|s_n^3-s^3|<\epsilon.$$

En general, $$s_n^{k+1}-s^{k+1}=(s_n-s)\sum_{j=0}^ks_n^{k-j}s^k,$$ así que $s_n^{k+1}\to s^{k+1}$ y el argumento es el mismo, sólo que ahora, en lugar de $\epsilon/3M^2$ , quieres algo así como $\displaystyle \frac{\epsilon}{(k+1)M^k}$ .

Answer 2

Aprecio mucho que hayas pedido que nadie te diga la prueba porque quieres resolver tus propios problemas de HW, así que +1 por eso. ¡No estoy seguro de si esto le ayudará, pero aquí va de todos modos!

Definición: Decimos que una secuencia $\{s_k\}$ converge a un valor límite $s$ si para cada número real $\epsilon >0$ por muy pequeño que sea, siempre es posible encontrar un $N$ de manera que para cada $M>N$ : $|s_M-s|<\epsilon$ .

Lo que realmente nos importa es $|s_n^2-s^2|$ Y la idea es básicamente esta:

ya que podemos factorizar $s_n^2-s^2=(s_n-s)(s_n+s)$ entonces se deduce de la convergencia de $\{s_n\}$ que a medida que n va al infinito, el primer factor irá a cero, y el segundo factor será convergente a 2s. Por lo tanto, todo el lado derecho converge a cero, lo que demuestra que $\{s_n^2\}$ converge.

Para que todo sea riguroso, hay que reescalar su $\epsilon$ porque la secuencia ordinaria y la secuencia al cuadrado convergen a un ritmo diferente.

Queremos decir $|s_n^2-s^2|<\epsilon '$ y esto no es lo mismo $\epsilon$ como en $|s_n-s|<\epsilon$ pero los dos están relacionados. Lo importante es que una vez que alguien nos da la $\epsilon '>0$ Cómo encontrar el N que satisface la definición de convergencia. Podemos hacer esto diciendo que si algún N dado satisface la definición para una secuencia ordinaria para algún $\epsilon >0$ entonces la misma N funcionará para la secuencia al cuadrado, siempre y cuando reescalemos nuestro $\epsilon '$ a $\epsilon '=\epsilon(M+|s|)$ .

En otras palabras, cualquier N que funcione para $\epsilon=\frac{\epsilon '}{M+|s|}$ funcionará para $|s_n^2-s^2|<\epsilon '$ .