En relación con esta respuesta, me encontré con la siguiente integral:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{du}{u} \: \,e^{-t u^2} \frac{J_0(u) Y_0(r u)-J_0(r u) Y_0(u)}{J_0^2(u)+Y_0^2(u)}$$
donde $r \gt 1$. Sé que esto parece un inversa Weber transformar, pero más allá del hecho de que el integrando tiene un nombre que yo no podía ver cómo podía ayudar. Un poco de contexto:
1) resulta que
$$\int_{0}^{\infty} \frac{du}{u} \: \frac{J_0(u) Y_0(r u)-J_0(r u) Y_0(u)}{J_0^2(u)+Y_0^2(u)} = \frac{\pi}{2}$$
Sé que esto es correcto a partir de las condiciones de frontera del problema que resuelve. Gradsteyn & Rhyzhik de acuerdo. Por supuesto, yo no se derivan directamente, así que no tengo ninguna prueba.
2) Asintóticamente, el integrando se comporta como
$$\frac{\sin{(r-1) u}}{\sqrt{r} u} e^{-t u^2}$$
Esto es muy interesante, y algo esperado. Aunque esta es una solución en 2D, radialmente simétrico de la geometría, la solución de los problema análogo en 1D tiene una integrando de la forma $(\sin{(x, u)}/u)\, e^{-t u^2}$.
3) La integral produce una función que se asemeja a una función de error.
De todos modos, cualquier evaluación analítica de la integral que resulta en una rápida evaluación del resultado de mi usando integración numérica va a llegar mi agradecimiento.
