Cuando hace un SES de vector de paquetes divididos?

Question

Una breve secuencia exacta de suave vector de paquetes,

$$0\to A \to B \to C \to 0$$

en un colector $M$, es un ejercicio fácil que la secuencia se divide. Un enfoque consiste en elegir una métrica de Riemann en $B$ y muestran que $C$ es isomorfo al complemento ortogonal de $A$. Esta prueba se extiende a lo complejo de la línea de paquetes por la elección de un Hermitian métrica.

Si salimos de la categoría de suave haces una falta de bump funciones significa que ya no podemos asumir una métrica existe, aunque si consideramos que haces equipado con una métrica, la misma prueba que debe trabajar.

Pregunta 1: ¿hay una prueba de que no hace uso de una métrica?

Pregunta 2: ¿En qué generalidad es que a corto exacta de las secuencias del vector de paquetes divididos? Sé que el vector paquetes corresponden a módulos proyectivos, que dice que tenemos escisiones más afín a sistemas, pero lo más general?

Answer 1

No totalmente seguro de lo que estás pidiendo (en particular, están preguntando acerca de la división algebraica/holomorphic configuración?), pero los siguientes comentarios pueden ser relevantes:

Debido al principio de que "la curvatura disminuye en holomorphic sub-paquetes y aumenta en el cociente de paquetes", es "raro" por un breve secuencia exacta de holomorphic vector haces para dividir holomorphically. Por ejemplo, la secuencia de $$ 0 \a \mathcal{S}(-1) \a \mathbf{C}^{n+1} \T\mathbf{P}^{n}(-1) \a 0 $$ sobre el complejo espacio proyectivo $\mathbf{P}^{n}$ no dividir holomorphically. De hecho, el trivial paquete en el medio se divide sólo por trivial sub-paquetes.

Las métricas no ayudan en la holomorphic categoría, debido a que los componentes de un no-constante Hermitian métrica nunca holomorphic funciones en el local de holomorphic coordenadas.

Answer 2

Yo no puedo decir que soy consciente de que una prueba de que no utiliza una métrica, pero (en relación a la Pregunta 2), esto es probablemente debido a que la prueba por medio de una de Riemann o Hermitian métrica en realidad es muy general. aplicar a todos los paracompact localmente compacto Hausdorff espacios (por ejemplo, compacto Hausdorff espacios, CW complejos).

Si $X$ es sólo un localmente compacto Hausdorff espacio, entonces usted puede construir una continua partición de la unidad subordinada a ningún finito tapa por medio de Urysohn del Lexema. En particular, si $X$ es paracompact (cada cubierta abierta admite un localmente finito refinamiento), por ejemplo, si $X$ es compacto o si $X$ es un CW complejo, entonces usted puede construir una continua partición de la unidad subordinada a ninguna cubierta está abierta a todos. Así, a través de una paracompact localmente compacto Hausdorff espacio, siempre puedes construir de Riemann o Hermitian métricas según sea necesario y, por tanto, la construcción de un fraccionamiento.

Ahora, incluso si usted está interesado en localmente compacto Hausdorff espacios, sin necesidad de paracompactness, vale la pena señalar que, en muchos contextos, por ejemplo, topológico $K$-teoría, sólo se considera el vector de paquetes de trivial en el infinito (es decir, $E \to X$ tal que para algunos compacto $K \subset X$, $E|_{X \setminus K}$ es trivial), en cuyo caso siempre se puede pasar a un número finito trivializar subcover, que por lo tanto admite un continuo de la partición de la unidad. Por lo tanto, una breve secuencia exacta de vector de paquetes de trivial en el infinito, a través de una localmente compacto Hausdorff espacio, debería dividirse.