Yo soy físico, trabajando en un electrostática problema y esta serie apareció: $\sum^{\infty}_{l=0} (P_l(x))^2$ donde $P_l$ $l$- ésimo polinomio de Legendre. Este cálculo numéricamente creo que la serie converge para $x\in(-1,1)$. No tengo el conocimiento necesario y la experiencia para saber si realmente lo hace. Así: 1. ¿La serie converge? 2. Si no - ¿cuál es la suma?
Respuesta
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Esta cuestión es delicada, pero la serie no siempre convergen. Un la fórmula de Laplace ((8.21.2) en Szego el libro de Polinomios Ortogonales) los estados que para $0<\theta<\pi$, $$ P_n(\cos\theta) = 2^{1/2}(n\pi\sin\theta)^{-1/2}\cos((n+\frac12\theta)-\pi/4) + O(n^{-3/2}).$$ En consecuencia, $\sum |P_n(\cos \theta)|^2$ converge si y sólo si $$\sum n^{-1} \cos^2\left((n+\frac12)\theta\pi/4\right)$$. Pero esta serie no convergen muchos de los valores de $\theta$ racionalmente relacionada con $\pi$, para que hay una progresión aritmética de las condiciones iguales a $1/n$. El respuesta a este la pregunta puede ser relevante cuando se $\theta$ no está racionalmente relacionada con $\pi$.
