Cómo probar que el normalizador de la diagonal de las matrices en $GL_n$ es el subgrupo de la generalizada permutación de matrices?

Question

Estoy tratando de demostrar que de normalizador $N(T)$ del subgrupo $T\subset GL_n$ de la diagonal de las matrices es el subgrupo $P\in GL_n$ generalizado de permutación de matrices. Supongo que mi mayor problema es que yo realmente no sé cómo diagonal y permutación de matrices (no) commute. Porque no es cierto que $DM=MD$ al $D\in T$ $M\in P$ desde la permutación es horizontal o vertical, pero a veces parece que se puede hacer algo parecido.

Hasta ahora, me han demostrado que $P\subset N(T)$, de la siguiente manera. Deje $M_\sigma\in P$. A continuación,$M_\sigma=VS_\sigma$, $V\in T$ $S_\sigma$ una matriz de permutación. Por lo $M_\sigma DM^{-1}=VS_\sigma D S_\sigma^T V^{-1}$. Por lo tanto, si podemos demostrar que $S_\sigma D S_\sigma^T$ es la diagonal que se hacen. Esto es cierto ya que $S_\sigma D S_\sigma^T=(x_1 e_{\sigma(1)} \dots x_n e_{\sigma(n)}) (e_{\sigma^{-1}(1)} \dots e_{\sigma^{-1}(n)})=(x_{\sigma^{-1}(1)}e_1 \dots x_{\sigma^{-1}(n)}e_n)$ donde $e_i$ son los vectores de la base. Incluso este es irremediablemente escrito. Estoy tratando de encontrar una manera de ver lo que el producto $S_\sigma D S_\sigma^T$ es sin escribir en vectores.

De la otra manera yo no sé realmente qué hacer. Estoy teniendo un momento difícil de la reescritura de la matriz de productos en una forma útil. Tal vez hay una manera de probar esto con algo completamente diferente? Tal vez usted puede demostrar que el uso de $N(T)/T\simeq S_n$, pero esto realmente lo que quiero usar mi pregunta. Cuando acabo de escribir lo que yo sé acerca de una matriz de $M\in N(T)$ acabo de llegar de un gran sistema de ecuaciones que no es realmente útil.

Answer 1

Deje $S\in N(T)$. A continuación, $SDS^{-1}$ es la diagonal para cada matriz diagonal $D$. Ahora, la conjugación conserva el espectro, que es exactamente la diagonal, en el caso de la diagonal de las matrices. Por lo que la diagonal de $SDS^{-1}$ tiene que ser el mismo que el de la diagonal de a $D$ hasta una permutación. A partir de esto no es difícil de instalación de las ecuaciones para ver que $S$ tiene un único cero de la entrada de cada fila y columna, es decir, $S$ es un generalizada de la matriz de permutación.

Concretamente, vamos a escribir $\{E_{kj}\}$ para el conjunto de la canónica de la matriz de unidades (por ejemplo, $E_{kj}$ es la matriz con un $1$ $k,j$ posición y ceros en otros lugares). Deje $D=E_{11}+2E_{22}+\cdots+n E_{nn}$ (es decir, una matriz diagonal con todos los diferentes entradas). Desde el primer párrafo, sabemos que $SDS^{-1}$ $W=\sigma(1)E_{11}+\cdots+\sigma(n)E_{nn}$ para algunos de permutación $\sigma$. Desde $SD=WS$, obtenemos que $$ S_{kj}(j-\sigma(k))=0. $$ Para cada una de las $j\ne\sigma(k)$,$S_{kj}=0$; por lo que el único distinto de cero en la entrada de la $k^{\rm th}$ fila$S$$S_{k,\sigma(k)}$. En otras palabras, cada fila de $S$ contiene un único cero de la entrada, por lo $S$ es un generalizada de la matriz de permutación.

Answer 2

El conjunto de autovectores comunes a todos los elementos de a $T$ es la del cero múltiplos de la norma vectores de la base. Cualquier elemento de $N(T)$ debe permutar estos vectores de la base, entre otros (si $P\in N(T)$ $v$ es un común autovector de a $T$, entonces también lo es $P\cdot v$). Esto significa que todas las columnas de a $P$ debe tener un único cero de la entrada, y, por supuesto, estas entradas tienen que estar en distintas filas. Por lo tanto $N(T)$ está contenida en el conjunto de la generalizada permutación de matrices. El reverso de la inclusión de la siguiente manera a partir de un simple cálculo para mostrar que la permutación de matrices de normalizar $T$ (como, por supuesto, hacer elementos de $T$ sí). O mostrar esto con el hecho de que $t\in T$ siempre con todos los estándares de base de vectores son vectores propios de a $t$ (casi la antítesis de la propiedad usada al principio).

Answer 3

Si $P$ es la permutación de la matriz correspondiente a la permutación $\pi$, es decir, $P_{i,\pi(i)} = 1$ por cada $i$, e $D$ es una matriz diagonal, entonces $(PDP^{-1})_{ij} = \sum_k \sum_\ell P_{ik} D_{k\ell} P^{-1}_{\ell j}$. Para un término distinto de cero, usted necesita $k = \pi(i)$, $k=\ell$ y $\ell = \pi(j)$, lo $\ldots$

Answer 4

Deje $S \in N(T)$. Ahora, $\forall D \in T$ tenemos $SDS^{-1} \in T$. Como se señaló, la conjugación conserva el espectro, y por lo $D$ $SDS^{-1}$ tienen la misma diagonal entradas hasta permutación. Esto nos permite escribir $SDS^{-1} = \prod_kP_kDP_k'$ donde $P_k, P_k' \in P_{S_n} \leq GL(n)$, el grupo de permutación de matrices. Esto demuestra que $N(T) \leq \langle T , P_{S_n}\rangle$. Por último, un simple cálculo muestra que $\langle T , P_{S_n}\rangle \leq N(T)$.