Irreductibilidad de $x^{2n}+x^n+1$

Question

Quiero saber por qué $n$, $$x^{2n}+x^n+1$$ es irreductible modulo 2. Creo que para $n=3^k$ pero no tienen idea de cómo demostrarlo.

Answer 1

Si $\omega=\exp\left(\frac{2\pi i}{3}\right)$, el cyclotomic polinomio $\Phi_3(x)$ es igual a: $$ \Phi_3(x)=\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1=(x-\omega)(x-\bar{\omega})\tag{1}$$ y puesto que: $$ \omega^{2n}+\omega^n+1 = 3\cdot\mathbb{1}_{n\equiv 0\pmod{3}}(n) \tag{2}$$ tenemos que $\Phi_3(x)$ es un divisor de a $x^{2n}+x^n+1$ por cada $n$ que no es un múltiplo de tres.

Por la misma razón, si $n$ no es una potencia de dos, tres y $m=\nu_3(n)$, $\Phi_3(x^{3^m})$ es un divisor de a $x^{2n}+x^n+1$, lo $n=3^k$ es una condición necesaria para $x^{2n}+x^n+1=\Phi_3(x^n)$ a ser irreducible sobre $\mathbb{F}_2$. Es también una condición suficiente: sólo tenemos que recordar que $$\nu_3\left(4^h-1\right) = 1+\nu_3(h).\tag{3} $$ Yo se lo dejo a usted para entender por qué la última línea implica la irreductibilidad de $\Phi_3(x^{3^k})$$\mathbb{F}_2$.