"Trivial" de la trigonometría problema

Question

Estoy realmente atascado en este problema, y me imaginé que la gente probablemente podría ayudar a mí con él. Tengo un rectángulo con ancho w y altura h con un cierto punto p en su interior. Este punto está dado por los desplazamientos x e y de la topleft de la plaza. En una imagen:

Ahora, me gire este rectángulo el ángulo de una. Me dibujar el recuadro circundante a su alrededor. Quiero saber el nuevo (x, y) las coordenadas del punto p de la topleft de los alrededores de la caja (o, la longitud de las líneas de color púrpura).

Notas: esta no es la tarea, este es un problema de programación estoy atascado en. En las imágenes el ángulo < 90, este no es necesariamente el caso. Además, las longitudes de los alrededores de la caja ya se conocen, no tienen necesidad de ser calculado.

Answer 1

Elija el punto de $p$ como origen de una $(x,y)$-sistema de coordenadas, el $x$-eje que apunta hacia la izquierda. Ahora girar el rectángulo alrededor de $p$ a la derecha en un ángulo de $\phi$. Lo que quiero saber es el $x$-coordenadas del vértice de la izquierda y el $y$-coordenadas del vértice superior como una función de la $\phi$.

Vamos $A=(x,y)$, $B=(x,h-y)$, $C=(w-x,h-y)$, $D=(w-x,y)$ las cuatro vértices en la posición de partida. A continuación, para $0<\phi<{\pi\over2}$ más a la izquierda del vértice es $B$ y el vértice superior es $A$. Para ${\pi\over2}<\phi<\pi$ más a la izquierda del vértice es $C$ y el vértice superior es $B$, y así sucesivamente.

Ahora el uso de las fórmulas para la rotación de puntos en un sistema de coordenadas, teniendo cuidado de que el elegido orientaciones de los ejes y ángulos. El procedimiento será más o menos mecánico.

Answer 2

Me estoy refiriendo a la imagen de abajo, donde el ángulo de rotación se denota por a $\alpha$.

Tenemos para el nuevo $x', y'$ si $0 \le \alpha \le 90$:: $$x' = BD = BC + CD = FE \cos(90-\alpha) + CD = (h - y) \cos(90-\alpha) + x \cos \alpha$$ $$y' = DK = DG + GK = DG + ML \cos (90 - \alpha) = y \cos \alpha + x \cos (90 - \alpha)$$

El uso de $\cos(90 - \alpha) = \sin \alpha$ tenemos $$x' = BD = (h - y) \sin \alpha + x \cos \alpha$$ $$y' = DK = y \cos \alpha + x \sin \alpha$$

AÑADIDO. Nos deja denotar este cálculo como $$(x', y') = F(x, y, h, \alpha), 0 \le \alpha \le 90$$ El significado y el orden de los parámetros es relevante.

Para otros ángulos de utilizar la imagen de abajo

CORRECCIÓN: La leyenda de las figuras deben ser respectivamente: $\beta=\alpha-90,\beta=\alpha-180,\beta=\alpha-270$.

a deducir: $$(x', y') = F(h-y, x, w, \alpha-90), 90 \le \alpha \le 180$$ $$(x', y') = F(w-x, h-y, h, \alpha-180), 180 \le \alpha \le 270$$ $$(x', y') = F(y, w-x, w, \alpha-270), 270 \le \alpha \le 360$$

Answer 3

Si no me equivoco, las fórmulas deben ser:

$x_{new}=(h-y)\cdot sin(A)+x\cdot cos(A)$

$y_{new}=x\cdot sin(A)+y\cdot cos(A)$