Demostrar que $\sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{a_1+a_2+...+a_k}<4\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}.$

Question

Demostrar que para $a_k>0,k=1,2,\dots,n$,

$$\sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{a_1+a_2+\ldots+a_k}<4\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}\;.$$

Answer 1

Debo confesar que este problema me llevó un muy largo tiempo!

Paso 1. Si $a_1,a_2,\alpha,\beta,\gamma$ son números reales positivos y $\gamma=\alpha+\beta$ sostiene, $$\frac{\gamma^2}{a_1+a_2}\leq \frac{\alpha^2}{a_1}+\frac{\beta^2}{a_2}$$ sostiene también, ya que es equivalente a $(\alpha a_2-\beta a_1)^2\geq 0$.

Paso 2. Si $a_1,a_2,\alpha,\beta,\gamma,\delta$ son números reales positivos y $\delta=\alpha+\beta+\gamma$ sostiene, $$\frac{\delta^2}{a_1+(a_2+a_3)}\leq \frac{\alpha^2}{a_1}+\frac{(\beta+\gamma)^2}{a_2+a_3}\leq\frac{\alpha^2}{a_1}+\frac{\beta^2}{a_2}+\frac{\gamma^2}{a_3}$$ sostiene también que, en virtud de Step2. Por inducción, es fácil probar el análogo para la declaración de $k$ variables $a_1,\ldots,a_k$. De hecho, esto es inútil para la prueba, pero bastante interesante en sí mismo :)

Paso 3. Por El Paso1, $$\sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{a_1+\ldots+a_k}-\frac{4}{a_n}\leq \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2k+1}{a_1+\ldots+a_k}+\frac{(\sqrt{2n+1}-2)^2}{a_1+\ldots+a_{n-1}}\leq \sum_{k=1}^{n-2}\frac{2k+1}{a_1+\ldots+a_k}+\frac{n^2}{a_1+\ldots+a_{n-1}}$$

Paso 4. Por Step3 $$\sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{a_1+\ldots+a_k}-\left(\frac{4}{a_n}+\frac{4}{a_{n-1}}\right)\leq \sum_{k=1}^{n-2}\frac{2k+1}{a_1+\ldots+a_k}+\frac{(n-2)^2}{a_1+\ldots+a_{n-2}}\leq \sum_{k=1}^{n-3}\frac{2k+1}{a_1+\ldots+a_k}+\frac{(n-1)^2}{a_1+\ldots+a_{n-2}}. $$

Paso5. Por el Paso 3, Paso 4, la inducción y el Paso 1 de nuevo: $$\sum_{k=1}^{n}\frac{2k+1}{a_1+\ldots+a_k}\leq \frac{3}{a_1}+\frac{9}{a_2}+\sum_{j=3}^{n}\frac{4}{a_j}\leq \sum_{j=1}^{n}\frac{4}{a_j}.$$