Encontrar todos los subgrupos de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Question

Encontrar todos los subgrupos de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Me pueden encontrar toda la infinita subgrupos de la forma $n\mathbb{Z}\times m\mathbb{Z}$ donde$n,m$$\mathbb{Z}$. Pero no sé cómo escribir todos los subgrupos finitos en un uniforme de expresión.

Alguna sugerencia? Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $e_1 = (1, 0), e_2 = (0, 1)$ ser la base canónica de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Deje $p_i\colon \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ $i$- th proyección para $i = 1, 2$. Deje $N \neq 0$ ser un subgrupo de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Si $p_1(N) = 0$,$N \subset \mathbb{Z}e_2$. Por lo tanto $N = \mathbb{Z}be_2$ para algunos entero $b > 0$. Si $p_1(N) \neq 0$, $p_1(N) = \mathbb{Z}a$ para algunos entero $a > 0$. Por lo tanto, no existe $y_1 \in N$ tal que $p_1(y_1) = a$. Deje $x = x_1e_1 + x_2e_2 \in N$. A continuación, $x_1$ es divisible por $a$. Por lo tanto $x - ny_1 \in \mathbb{Z}e_2$ para algunos entero $n$. Desde $x - ny_1 \in N \cap \mathbb{Z}e_2$, $N = \mathbb{Z}y_1 \oplus (N \cap \mathbb{Z}e_2)$. Si $N \cap \mathbb{Z}e_2 = 0$,$N = \mathbb{Z}y_1$. Si $N \cap \mathbb{Z}e_2 \neq 0$, $N \cap \mathbb{Z}e_2 = \mathbb{Z}ce_2$ para algunos entero $c > 0$. Por lo tanto $N = \mathbb{Z}y_1 \oplus \mathbb{Z}ce_2$

Por lo tanto, la no-cero subgrupos de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ se clasifican de la siguiente manera.

(1) $N = \mathbb{Z}be_2$ para algunos entero $b > 0$.

(2) $N = \mathbb{Z}y_1$, donde $y_1 = ae_1 + be_2, a > 0$

(3) $N = \mathbb{Z}y_1 \oplus \mathbb{Z}ce_2$, donde $y_1 = ae_1 + be_2, a > 0, c > 0$

Answer 2

Usted debe encontrar que es muy fácil escribir todos los subgrupos finitos de $\mathbb{Z}$. (Si usted todavía está luchando, he aquí una sugerencia: un subgrupo finito tendrá un elemento más grande...) Esto debe darle una idea de cómo muchos subgrupos finitos no son de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Answer 3

Se me ha hecho un comentario incorrecta, y la pregunta que aún no ha sido contestada completamente, por lo que parece justo que debo volver y responder a la otra mitad...

La pregunta es: ¿has encontrado todas las infinitas subgrupos de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$? Y la respuesta es no. Dónde están el resto?

Los subgrupos $m\mathbb{Z} \times n\mathbb{Z}$ son generadas por dos elementos: (m,0) y (0,n). Esto genera un agradable, rectangular-en busca de la cuadrícula (a menos que cualquiera de los m o n es cero, en cuyo caso tenemos una horizontal/vertical de la línea, o de 0 a sí mismo). ¿Qué más hay? Bien, evidentemente, es la línea generada por (1,1), o, de hecho,(1,2), (1,3), (5,7), o cualquier otra cosa. También hay todo tipo de forma de paralelogramo, rejillas, por ejemplo, los generados por (3,0) y (1,1). Podemos obtener algo más exótico? Estos ven un poco de una reminiscencia de 0-, 1 - y 2-dimensiones de los subespacios de un espacio vectorial...

De hecho, la respuesta es que no hacemos nada más exótico de todos nuestros subgrupos mirada como forma de paralelogramo, mallas, con dos generadores, excepto para los degenerados de los casos (las líneas y 0). ¿Por qué no? Bueno, no podemos apelar al álgebra lineal directa (espacios vectoriales y finitely generado abelian grupos son similares, pero sutilmente diferentes cosas), pero sin duda podemos pedir prestado un truco de ella.

Permítanme darles un ejemplo, y espero que usted puede completar los detalles. Supongamos que su grupo es generado por 3 (o más) cosas: $g_1, g_2, g_3$. Entonces, obviamente, también se genera por $g_1, g_2, (g_3+g_2)$, o $g_1, g_2, (g_3-g_1)$, o cosas similares. En otras palabras, una a una, podemos añadir/restar múltiplos enteros de un generador a/de otro. Así que vamos a ver en el grupo generado por (5,0), (1,1) y (3,-4):

(5,0), (1,1), (3,-4) - estos son mis generadores de corriente. Voy a añadir la segunda a la tercera, 4 veces:

(5,0), (1,1), (7,0) - y aún así generar el mismo grupo. Ahora voy a restar el primero de la tercera:

(5,0), (1,1), (2,0) - y ahora voy a restar el tercero de la primera, dos veces:

(1,0), (1,1), (2,0) - y ahora voy a restar el primero de la tercera, dos veces:

(1,0), (1,1), (0,0) - y ahora yo, realmente, sólo tiene 2 generadores, debido a (0,0) no genera nada. Así que es un 2-dimensional subgrupo después de todo.

Puede rellenar los datos para el caso general?

Answer 4

Por motivo de comentarios debajo de Makoto Koto la respuesta y el espaciado, rediseñado la respuesta.

Vamos ■ $\{(1, 0),(0, 1)\}$ ser la base canónica de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.
■ $p_i\colon \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ $i$- th proyección para $i = 1, 2$. Por lo tanto $p_1(x, y) = x, p_2(x, y) = y$
■ $N \neq \emptyset$ ser un subgrupo de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Si $p_1(N) = 0$,$N \subset \mathbb{Z}(0, 1)$.
Por lo tanto $N = \mathbb{Z}b(0,1)$ para algunos entero $b > 0$.

Si $p_1(N) \neq 0$, $p_1(N) = \mathbb{Z}(1,0)$ para algunos entero $a > 0$.
Por lo tanto, no existe $y_1 \in N$ tal que $p_1(y_1) = a$.
Deje $x = x_1(1,0) + x_2(0,1) \in N$. A continuación, $x_1$ es divisible por $a$.
Por lo tanto $x - ny_1 \in \mathbb{Z}(0,1)$ para algunos entero $n$.
Desde $y_1 \in N$ $n$ es un número entero, por lo tanto $ny_1 \in N$. Aviso de que es posible $n$ $\not\in N$.
Desde $x - ny_1 \in \color{purple}{N \cap \mathbb{Z}(0,1)}$, $N = \mathbb{Z}y_1 +(\color{purple}{N \cap \mathbb{Z}(0,1)})$.
Desde $\mathbb{Z}y_1 \cap\color{color púrpura}{N \cap \mathbb{Z}(0,1)}) = 0, N = \mathbb{Z}y_1 \oplus (\color{color púrpura}{N \cap \mathbb{Z}(0,1)} \,). $

Si $N \cap \mathbb{Z}(0,1) = \emptyset$,$N = \mathbb{Z}y_1$.
Si $N \cap \mathbb{Z}e_2 \neq \emptyset$, $N \cap \mathbb{Z}e_2 = \mathbb{Z}ce_2$ para algunos entero $c > 0$. Por lo tanto $N = \mathbb{Z}y_1 \oplus \mathbb{Z}ce_2$

Por lo tanto, la no-cero subgrupos de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ se clasifican de la siguiente manera.

(1) $N = \mathbb{Z}be_2$ para algunos entero $b > 0$.

(2) $N = \mathbb{Z}y_1$, donde $y_1 = ae_1 + be_2, a > 0$

(3) $N = \mathbb{Z}y_1 \oplus \mathbb{Z}ce_2$, donde $y_1 = ae_1 + be_2, a > 0, c > 0$

Answer 5

Si usted puede usar el álgebra lineal, entonces considere el $V$ el subespacio de $\mathbb R^2$ generado por un subgrupo $H$$\mathbb Z \times \mathbb Z $.

• Si $\dim V=0$,$H=0$.

• Si $\dim V=1$, tome $u\in H$ con positivo menor longitud. A continuación,$H=\mathbb Z u$.

• Si $\dim V=2$, tome $u\in H$ con positivo menor que la longitud y tome $v \in H\setminus\mathbb Z u$ con positivo menor longitud. A continuación,$H=\mathbb Z u + \mathbb Z v$.

Por lo tanto, todos los subgrupos de $\mathbb Z \times \mathbb Z $ son de la forma $\mathbb Z u + \mathbb Z v$, donde uno o ambos $u$ $v$ puede ser cero.