Condición necesaria y suficiente para los puntos de ramificación en una superficie de Riemann.

Question

He estado leyendo un libro de V.B. Alekseev sobre el teorema de Abel sobre la insolubilidad de la quíntica, y estoy un poco preocupado por su presentación en superficies de Riemann.

Mi pregunta es la siguiente: Supongamos que $X$ es la superficie de Riemann definida por el lugar cero del polinomio $P \in \mathbb{C}[z, w]$ . Estoy confundido en cuanto a la naturaleza de los puntos de ramificación y cómo encontrarlos. He oído decir que los puntos de ramificación se producen cuando $\frac{\partial P}{\partial w}$ desaparece. Esto no ocurre si $P(z, w) = w^{2} - z^{2}$ donde todo el gradiente se desvanece. Me pregunto si hay una condición precisa sobre qué puntos son puntos de ramificación frente a qué puntos son singularidades.

También estoy bastante confundido acerca de lo que sucede cuando $P$ es reducible. Parece que si $P$ contiene un factor cuadrado, entonces siempre compartirá una raíz con $\frac{\partial P}{\partial w}$ por lo que se desvanece para un número infinito de $z$ . Lo siento si esto es bastante vago, pero este libro nunca parece indicar cómo encontrar puntos de ramificación y sólo estoy buscando orientación sobre cómo hacerlo en general.

Answer 1

Su libro parece un poco flojo a la hora de definir lo que es un punto de ramificación. Voy a dar una vaga descripción/intuición y luego te daré una referencia para que todo sea riguroso.

Este es el ejemplo más sencillo de un punto de ramificación. Consideremos la función $f: \mathbb C\to \mathbb C$ dado por $f(z)=z^2$ . $0$ (en la copia de la imagen de $\mathbb C$ ) es un punto de bifurcación porque es "golpeado con multiplicidad 2". $4$ (en la copia de la imagen de $\mathbb C$ ) no es un punto de ramificación porque $4$ es golpeado por $2$ y $-2$ pero en $2$ y $-2$ , $f$ "tiene multiplicidad 1".

Ser un punto de ramificación depende de un mapa entre dos espacios. Aquí hay una conexión con la definición que da su libro (cambio de hojas de una función multivaluada). Digamos que queremos definir una función raíz cuadrada en $\mathbb C$ . Está claro que esto es multivalente, por lo que de alguna manera queremos capturar este comportamiento. Definir $X = \{ (x, y) \in \mathbb C^2 \mid y^2 = x \}$ . Toma $f: X \to \mathbb C$ enviando $(x, y) \to x$ . Mientras que yo he montado todo esto en $\mathbb C$ , pensemos en la imagen en $\mathbb R^2$ . Así que $X$ es sólo una parábola lateral y $f$ es sólo la proyección a la $x$ eje. Tenga en cuenta cualquier función $g$ en un conjunto abierto $U \subset \mathbb C$ en $X$ tal que $f \circ g$ es la identidad en $U$ es una "función de raíz cuadrada local". Así que si estoy en $x=1$ Puedo elegir la raíz real positiva o la raíz cuadrada negativa. La mitad superior y la mitad inferior se consideran las hojas de la función. En $0$ estos se encuentran ("con multiplicidad 2"), por lo que según la definición de su libro $0$ es un punto de ramificación.

Todo lo que he dicho aquí es vago e impreciso, así que le remitiré al libro de Rick Miranda Curvas algebraicas y superficies de Riemann . Concretamente el capítulo 2, sección 4. Tiene ejercicios explícitos al final para encontrar los puntos de ramificación y bifurcación, y puedes comprobar tu respuesta con la Fórmula de Hurwitz. Espero que te sirva de ayuda.

PS. Tomamos el polinomio $P$ sea irreducible para que el conjunto cero de $P$ es un colector complejo, y estos espacios que he mencionado anteriormente tienen que ser colectores complejos.