Cuántos números enteros positivos $< 1{,}000{,}000$ contiene el dígito $2$?

Question

Cuántos números enteros positivos a menos de $1{,}000{,}000$ tiene el dígito $2$ en ellos?

Yo podría determinar sumando en términos de la cantidad de lugares decimales, es decir, entre $999{,}999$ y $100{,}000$, etc.

Entonces para determinar el número de números de entre $999{,}999$ y $100{,}000$ que tiene el dígito $2$ en ellos sería de $9^5$.

Es esto correcto, o soy yo miscounting?

Answer 1

Aunque no siempre de la manera más inteligente, este tipo de preguntas pueden ser mecánicamente contestó de la siguiente manera. (En este caso el "inteligente" de la manera de hacerlo es Cameron respuesta. Es interesante ver que este procedimiento mecánico, básicamente se recupera Cameron método). Deje de $a_n$ y $b_n$ ser la cantidad de $n$dígitos de los números que no y no tener una $2$ en ellos. Por lo que $a_0=1$ y $b_0=0$. Estos número de satisfacer la recurrencia $$ \begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}9&0\\1&10\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} $$

(Tome un momento para entender lo que esta recurrencia expresa.) Ahora $$ \begin{pmatrix}9&0\\1&10\end{pmatrix}^6 \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}531441\\468559\end{pmatrix} $$

así que la respuesta es $468559=10^6-9^6$.

Answer 2

El número de números de $de 1$ t0 $10^6$ que no tienen el dígito $2$ es evidentemente el mismo que el número de números que no tienen el dígito $9$. Ahora lea cada uno de estos en la base de $9$ y obtener todos los números de 1 a $10^6$ (base 9) $=9^6$ (base 10). Por lo tanto, hay $10^6-9^6$ números de entre $1$ y $10^6$ que utilizar el dígito 2.

Answer 3

Me temo que has miscounted. En este caso, sería mejor contar indirectamente, por la búsqueda de los números que no tienen el dígito $2$ en ellos, restando del total.

En primer lugar, vamos a contar la cantidad de $6$-números de dos dígitos sin un $2$ en ellos. Hay $8$ opciones para el primer dígito de un número, y para cada uno de los otros $5$ dígitos, hay $9$ opciones. Por lo tanto, hay $8\cdot 9^5$ a dichos números. Del mismo modo, podemos encontrar que $8\cdot 9^4$ $5$-números de dos dígitos sin un $2$ en ellos, y así sucesivamente, hasta los $2$-números de dos dígitos. Dependiendo de si $0$ es considerado un $1$-dígitos de número, hay $8$ o $9$ números de un dígito y no $2$s'. Resulta que la respuesta es no afectado, de cualquier manera, como se comentará a continuación.

Nota Dependiendo de si usted está tomando $0$ a ser un número, el número en el $1$dígitos caso serán diferentes (a pesar de la respuesta, en sí, no). De hecho, si se toma $0$ a ser un número, entonces la respuesta es muy simplificado, ya que sólo necesita elegir uno de los $9$ disponible dígitos para cada uno de los $6$ decimales. Este rendimientos de $9^6$ números de menos de $1000000$ sin $2$ como un dígito, de un total de $1000000=10^6$ números de menos de $1000000.$ Esto también sugiere un enfoque alternativo en el caso de que $0$ es no un número considerado. Proceder como antes, pero descarte cero como una opción, por lo que hay $9^6-1$ números de menos de $1000000$ sin $2$ como un dígito, de un total de $999999=10^6-1$ números de menos de $1000000.$ En cualquier caso, hay $10^6-9^6$ números de menos de $1000000$ con $2$ como un dígito.

Esto incluso está de acuerdo con la (más intuitivo, pero menos eficientes) método descrito anteriormente. En general, podemos encontrar la suma usando la fórmula para la suma de las progresiones geométricas. Alternativamente, he aquí un truco que podemos utilizar.

Ahora, suponga que $0$ es no entre los números bajo consideración. (Como hemos visto anteriormente, esto no hará una diferencia.) En ese caso, hay $8=8\cdot 9^0$ números de un solo dígito no es igual a $2$. Por lo tanto, hay $$8\cdot9^5+8\cdot9^4+8\cdot9^3+8\cdot9^2+8\cdot9^1+8\cdot9^0$$ números de menos de $1000000$ que no tiene $2$ como un dígito. Vamos a llamar a esta suma de $S$. Ahora, $$\begin{align}9S &= 9\left(8\cdot9^5+8\cdot9^4+ 8\cdot9^3+8\cdot9^2+8\cdot9^1+8\cdot9^0\right)\\ &= 8\cdot9^6+8\cdot9^5+8\cdot9^4+8\cdot9^3+8\cdot9^2+8\cdot9^1\\ &= 8\cdot9^6+S-8\cdot9^0\\ &= S+8\cdot\left(9^6-9^0\right)\end{align}$ de$ lo $$8S=8\cdot\left(9^6-9^0\right),$$ así $$S=9^6-9^0=9^6-1.$$ Ya hay $10^6-1$ números de menos de $1000000,$, luego que el anterior, hay $$10^6-9^6=468559$$ los números de menos de $1000000$ con $2$ como un dígito.

Answer 4

Usted puede obtener de forma generalizada respuesta a esta pregunta (suponiendo que siempre están preguntando cómo muchos enteros con el dígito 2 a menos de una determinada potencia de 10).

For 10, there is 1
For 100, there is 1 + 1 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9x1 + 10 = 19
For 1000, there is 19 + 19 + 100 + 19 + 19 + 19 + 19 + 19 + 19 + 19 = 9x19 + 100 = 271

Así, generalizar, si n es la potencia de 10,

$$ A_1 = 1 $$

$$ A_n = 10^{n-1}+9A_{n-1} $$

Así, por 1,000,000,

$$ A_6=10^5+9A_5 $$ $$ A_6=10^5+9(10^4 + 9A_4) $$ $$ A_6=10^5+9*10^4+81*A_4 $$ $$ A_6=10^5+9*10^4+81(10^3+9A_3) $$ $$ A_6=10^5+9*10^4+81*10^3+729A_3 $$ $$ A_6=10^5+9*10^4+81*10^3+729(10^2+9A_2) $$ $$ A_6=10^5+9*10^4+81*10^3+729*10^2+6561A_2 $$ $$ A_6=10^5+9*10^4+81*10^3+729*10^2+6561(10+9A_1) $$ $$ A_6=100000+90000+81000+72900+65610+59049 $$ $$ A_6=468559 $$

Answer 5

Usted está miscounting, la respuesta es 468,559.

Hay 6 dígitos, los dígitos pueden ser 0-9. Que hace diez opciones para que 10^6 permutaciones. Si quita 2 de 0-9, hay 9 opciones para 9^6 permutaciones.

Set size                   = 10^6 = 1,000,000
Numbers with no 2s         =  9^6 =   531,441
Number with at least one 2 = 10^6 - 9^6
                           = 1,000,000 - 531,441
                           = 468,559