$x^n + y^n = c$ tiene un número finito de soluciones integrales?

Question

Suponga $n > 1$ $n$ es extraño, porque es fácil si $n$ es incluso.

Por favor, ayudar a probar esta.

$x^n + y^n = c$ tiene un número finito de soluciones integrales si $c \neq 0$?

Gracias a todos por responder. Creo que he encontrado mi respuesta a esta pregunta. Y creo que es bastante simple. Aquí va.

(No negativo soluciones implica que las soluciones $(x,y)$ donde $x, y \geq 0;$ y negativo de soluciones implica que las soluciones $(x, y)$ donde $x, y < 0$.)

La ecuación tiene un número finito de no negativo soluciones así como las soluciones negativas. Esto es bastante trivial para mostrar. A partir de aquí, a considerar sólo las soluciones de $(x, y)$ donde $x$ $y$ tienen signos opuestos. Sin pérdida de generalidad, supongamos $x >0$$y <0$.

Deje $z = -y >0$. De manera que la ecuación se convierte en $x^n - z^n = c$.
$\implies |x^n - z^n| = |x-z||x^{n-1}+x^{n-2}z + \dots+xz^{n-2}+z^{n-1}|=|c|$.

Desde $|x-z| \geq 1$ (si $|x-z| = 0, c = 0$), $|c| \geq |x^{n-1}+x^{n-2}z + \dots+xz^{n-2}+z^{n-1}| \geq |x^{n-1} + z^{n-1}| = x^{n-1} +z^{n-1}$

Ahora, es obvio que hay sólo un número finito de estos $(x, z)$. Y es bastante mucho por hacer aquí. Por favor, hágamelo saber de mi que cualquier error.

Answer 1

Para un determinado$c \neq 0$$n >1$, la $\mathcal{S}_{n,c} = \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^2, x^n+ y^n = c\}$ puede ser representado como $$ \mathcal{S}_{n,c} = \mathcal{S}_{1}\cup \mathcal{S}_{2} \cup\mathcal{S}_{3}\cup \mathcal{S}_{4},$$

donde

$\mathcal{S}_{1} = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2, x^n+ y^n = c\}$;

$\mathcal{S}_{2} = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2, x^n- y^n = c\}$;

$\mathcal{S}_{3} = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2, x^n- y^n = -c\}$;

$\mathcal{S}_{4} = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2, x^n+ y^n = -c\}$.

Observe que si $c > 0$, $\mathcal{S}_{4} = \emptyset$, y si $c < 0$, $\mathcal{S}_{1}= \emptyset$. Por lo tanto, para un determinado $c$, podemos eliminar un conjunto mediante la asignación de una señal de a $c$. Los conjuntos de $\mathcal{S}_{2}$ $\mathcal{S}_{3}$ son intercambiables con el signo de $c$. Así, podemos optar $c >0$. Por lo tanto, $$ \mathcal{S}_{n,c} = \mathcal{S}_{1}\cup \mathcal{S}_{2} \cup\mathcal{S}_{3}.$$

Debido a que el conjunto de $\mathcal{V}_{n,c} = \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2, |x^n-y^n| \leq |c|\}$ es finito, y $\mathcal{S}_{i}\subseteq \mathcal{V}_{n,c}$, para todos los $i \in \{1,2,3\}$, $\mathcal{S}_{n,c}$ es también finito.

Answer 2

Echemos un vistazo a la factorización de $x^n+y^n$.

Para todos los impares $n$, $$x^n+y^n=(x+y)\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-x^{n-4}y^3+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1}\right)$$

Así, desde $x^n+y^n=c$, $$\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1} \right)\Bigg| c$$

Esto implica que $$\left|x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1}\right|\leq |c|$$

Ahora aquí está la clave para el argumento: pretendemos que $$x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1}\geq \min\left(x^{n-1}, y^{n-1} \right)$$

Si podemos demostrar esto, entonces nos han demostrado que para $x^n+y^n=c$, debemos tener la $$\min\left(x^{n-1},y^{n-1}\right)\leq |c|$$

Este gana la prueba para nosotros debido a esto, combinado con nuestra restricción de que $x^n+y^n=c$, sólo es cierto para un número finito de $x$$y$. Así que todos tenemos que hacer ahora es mostrar que la desigualdad se cumple. Voy a hacer la $n=5$ caso así que usted puede ver el principio general en el trabajo.

Por lo tanto, estamos considerando la ecuación de $$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4$$

Si $|x|=|y|$ (esto implica que $x=y$ desde $x\neq -y$ porque $x^n+(-x)^n=0$$c\neq 0$), entonces es muy fácil mostrar que la desigualdad se cumple. $\checkmark$

Sin pérdida de generalidad, vamos a dejar que $|x|>|y|$. Vamos a tener un par de casos.

Caso 1 $x\geq 0$ $y\geq 0$ . Entonces tenemos que $x^4-x^3y\geq 0$$x^2y^2-xy^3\geq 0$, tanto desde $x>y$. Por lo tanto $$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\geq y^4= \min\left(x^4,y^4\right) \checkmark$$

Caso 2 $x\leq 0$ $y\leq 0$ . Este caso es muy similar a la del Caso 1. $\checkmark$

Caso 3 $x\geq 0$ $y\leq 0$ . Entonces tenemos que $-x^3y\geq 0$$-xy^3\geq 0$, tanto desde $y\leq 0$. Por lo tanto $$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\geq y^4=\min\left(x^4,y^4\right) \checkmark$$

Caso 4 $x\leq 0$ $y\geq 0$ . Super similar a la del Caso 3. $\checkmark$

Estos son todos los casos posibles, por lo que completa la prueba de $n=5$. (Woohoo!)

Que muestra que la desigualdad se cumple para todos los impares $n$ se realiza utilizando la misma idea general como en el $n=5$ de los casos. Entonces, una vez que hemos demostrado que, hay sólo un número finito $x$ $y$ que puede satisfacer $$\min\left( x^{n-1},y^{n-1}\right)\leq |c|$$ and $$x^n+y^n=c$$ así que hemos terminado!

Answer 3

Sin pérdida de generalidad podemos suponer $c > 0$. Vamos a ver qué va a pasar si $c < |x| < |y|$. Entonces (obviamente $y > 0$): $$ |y^n + x^n| \geq |y^n| - |x^n| \geq |y|^n - (|y| - 1)^n \geq (|y|^{n-1} + |y|^{n-2}(|y| - 1)+ \dots) > c $$

Último caso si $|x| = |y|$. Entonces si son iguales los números positivos, a continuación, $x^n = \frac{c}{2}$ sólo ha $1$ solución y en caso contrario, desde la $c\neq0$ no tenemos soluciones.

Por último tenemos que podemos tener soluciones iff $|x| \leq |y| \leq c$, pero hay un número finito de estos $(x, y)$.