Probar que si a y B son matrices tales que a, B, y AB son normales, entonces AB es también normal.

Question

Si a y B son matrices tales que a, B, y AB son normales, entonces AB es también normal.

He visto que esta declaración de todo, aunque yo solo he visto el sitio/publicación/etc... estado que fue comprobado por Wiegmann, pero nadie en realidad le da la prueba. Podría alguien ayudarme a envolver mi cabeza alrededor de por qué esto es cierto?

Gracias.

Answer 1

Aquí es una prueba de como tomada de este documento: Kaplansky, Irving Productos de la normal de operadores. El Duque De Matemáticas. J. 20, (1953). 257-260. Este documento también está contenida en "Selected Papers y Otros Escritos de Irving Kaplansky'. Se supone que debe ser probado originalmente por Wiegmann, pero no tengo acceso a este documento.

Teorema 1: Suponga $A$ $AB$ son normales. Si $B$ viajes con $A^*A$ $BA$ es normal.

Prueba: Tome la descomposición polar de $A$, $A=UP$, $U$ unitaria, $P=P^*$. Desde $A$ es normal que sigue $$ AA^* = UPP^*U^* = A^* = P^*P, $$ por lo tanto $UP^2 = P^2U$, lo que implica que $U$ $P$ viaje.

Como $B$ viajes con $A^*A$ también desplazamientos con $P=(A^*A)^{1/2}$.

Esto implica $$ U^*ABU = U^*UPBU = PBU = BPU = BA, $$ por lo tanto $BA$ es unitaria equivalente a una normal de la matriz, y por lo tanto es normal en sí.

Teorema 2: Asumir $A$, $B$, $AB$ normal. A continuación, $B$ viajes con $A^*A$.

Prueba: Set $C:=BA^*A-A^*AB= [B,A^*A]$ donde $[C,D]=CD-DC$ denota el conmutador de dos matrices $C$$D$.

Entonces $$ C^*C=(A^*AB^*-B^*^*) (BA^*-^*AB) = A^*AB^*BA^* - ^*AB^*^*AB -B^*^*ABA^*A +B^*^*AA^*AB. $$ Ahora, por la normalidad de $AB$ $A$ obtenemos $$ B^*^*AA^*AB - A^*AB^*^*AB = (B^*^*) (AA^*AB)- (A^*AAB)(B^*^*)= [B^*^*, AA^*AB]. $$ Desde $$ UN^*AB^*BA^*A-B^*^*ABA^*A = A^*AB^*BA^*-ABB^*^*^*A= (A^*)(AB^*BA^*A)-(AB^*BA^*A)(A^*) = [A^*,AB^*BA^*]. $$ Esto demuestra $$ C^*C = [B^*^*, AA^*AB] + [A^*,AB^*BA^*]. $$ Desde el seguimiento de los conmutadores es cero debido a $tr(CD)=tr(DC)$, de la siguiente manera $tr(C^*C)=0$, por lo tanto $C=0$, e $B$ viajes con $A^*A$.

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Teorema 1 + 2 ahora probar la reclamación.

Answer 2

Hay una manera más simple prueba de esta afirmación (ver Problema 42 en la Sección 2.5 de un Análisis de la Matriz por el Cuerno y Johnson).

Usted ya sabe que una matriz $$A \text{ is normal if and only if } \mathrm{tr}(A^*A)=\sum\limits_{i=1}^n|\lambda_i(A)|^2,$$ donde $\lambda_i(A)$ son los autovalores de a $A$.

Desde $A$ $B$ son normales y $\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX)$ para el cuadrado de $X$$Y$, tenemos $$ \begin{split} \mathrm{tr}[(AB)^*(AB)]&=\mathrm{tr}(B^*A^*AB)=\mathrm{tr}(B^*AA^*B)\\&=\mathrm{tr}(A^*BB^*A)=\mathrm{tr}(A^*B^*BA)=\mathrm{tr}[(BA)^*(BA)]. \end{split} $$ Así, obtenemos $$ \sum_{i=1}^n|\lambda_i(BA)|^2=\sum_{i=1}^n|\lambda_i(AB)|^2=\mathrm{tr}[(AB)^*(AB)]=\mathrm{tr}[(BA)^*(BA)], $$ donde la primera igualdad se sigue del hecho de que los autovalores de a $AB$ $BA$ son iguales ($AB$$BA$tiene la misma característica polinomios) y la segunda de la normalidad de $AB$. Por lo tanto $BA$ es normal.