Según mi mano en el cálculo, la afirmación no es cierta para $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{3})$. Has comprobado este caso?
Es cierto que un primer ramifies en $K$ si y sólo si ramifies en el Galois cierre de $K$. Podría ser una fórmula como la que usted describe que es cierto para los números primos mayores que $d$.
Advertencia: esta parte de la respuesta fue escrito sin acceso a mi número habitual de la teoría de referencias, por lo que puede haber errores. No está destinado a ser leído por sí mismo de todos modos; está destinado a ser una guía para un buen libro sobre la teoría algebraica de números, como Neukirch o Janusz.
Cómo usted debe acercarse a una pregunta como esta
Su estrategia fundamental para ser de relacionar el orden de ramificación de la $p$ $L$ y en el Galois cierre de $L$. Esto no determinar con precisión la potencia de $p$ dividiendo el discriminante, pero tenemos las siguientes
Hecho: Vamos a $L/K$ ser una extensión de los campos de número y $p$ un primer de $K$ con la ramificación de los índices de $e_1$, $e_2$, ... $e_r$ y residuos del campo de las extensiones de grado $f_1$, $f_2$, ..., $f_r$. Entonces, el poder de $p$ dividiendo $D_{L/K}$ al menos $\sum (e_i-1) f_i$, con igualdad si y sólo si todas las $e_i$ son de menos de primos relativos a la característica de $p$.
A partir de ahora, me referiré a la cuestión de cómo se relacionan las órdenes de ramificación en $L$ y en el cierre de Galois. Si usted necesita para tratar el caso de que algunas de las $e_i$ son mayores o iguales a la característica de $p$, usted debe leer sobre una mayor ramificación de los grupos.
Deje $M$ ser el Galois cierre de $L$, vamos a $G$$\mathrm{Gal}(M/K)$, y deje $H$ ser el campo fijo de $L$. Revisión de un primer $p$$K$, y1 $\mathfrak{p}$ primer $p$. Deje $D \subseteq G$ ser la descomposición grupo de $\mathfrak{p}$ $I \subset D$ de la inercia del grupo. $I$ es normal en $D$; el cociente $D/I$ es cíclico y tiene una canónica de generador de $F$ llama la Frobenius.
Yo creo que el FC del cálculo fue para el caso $G=S_n$, $D=I=\{ e, (12) \}$.
En $M$, los números primos se encuentra por encima del $p$ están en bijection con $G/D$. Cada uno de ellos ha $f=|D/I|$$e=|I|$.
Deje $X=G/H$ ($G$- acción). En $L$, por encima de los números primos $p$ están en bijection con el $D$de las órbitas en $X$. Deje $O$ ser $D$-órbita, correspondiente a un primer $q_O$. Debido a $I$ es normal, $O$ rompe como una unión de $I$de las órbitas de todos los de la misma cardinalidad. A continuación, $q_O$ $e$ igual a la cardinalidad de estos $I$de las órbitas, y $f$ igual al número de ellos.
Usando estas ideas, usted debe ser capaz de relacionarse ramificación en $L$ $M$ cualquier $G$ $H$ que te interesen.
1 I fix $\mathfrak{p}$ sólo para expositiva fines. El cambio de $\mathfrak{p}$ conjugado $(D,I,F)$. Probablemente la manera correcta de pensar de todas estas cosas que están trabajando para conjugacy.
