Demostrar que : $a^n+b^n+c^n=x^n+y^n+z^n$; $\forall n\in \mathbb{N}$

Question

$a;b;c;x;y;z \in \mathbb{R}$ tal forma que : \begin{matrix} a+b+c=x+y+z & \\ a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2 & \\ a^3+b^3+c^3=x^3+y^3+z^3 & \end{de la matriz}

Demostrar que : $a^n+b^n+c^n=x^n+y^n+z^n$; $\forall n\in \mathbb{N}$

P/s : no tengo ninguna idea acerca de este problema..!!

Gracias :)

Answer 1

Sugerencia:

Deje $p_1=a+b+c, \; q_1 = ab+bc + ca,\; r_1 = abc, \; p_2 = x+y+z, \; q_2 = xy+yz+zx, \; r_2 = xyz$. Entonces es fácil demostrar que: $$p_1 = p_2, \quad q_1 = q_2, \quad r_1 = r_2$$ Además, $a^n+b^n + c^n$ $x^n + y^n + z^n$ son simétricas funciones y por lo tanto puede ser expresado en términos de$p_1, q_1, r_1$$p_2, q_2, r_2$, respectivamente, en exactamente la misma manera... de modo que sean iguales.