Resolver $\frac{b}{a}=a.b$ en decimal

Question

¿Existen ecuaciones de la forma $\dfrac{b}{a}=a.b$ que no sea $\dfrac{5}{2}=2.5$ ?

Denote $n=\lfloor\log_{10}b\rfloor+1,$ entonces $$\frac{b}{a}=a.b=a+\frac{b}{10^n},\\ b=a^2+\frac{ab}{10^n},a^2<b<a^2+a<(a+1)^2, a=\lfloor\sqrt{b}\rfloor,10^n\mid ab.$$

He buscado $b<10^5$ tal que $10^n\mid ab$ y conseguimos una mesa: $$\begin{array}{|c|c|c|}\hline b & a & d(b)=a^2+a b/10^n-b \\\hline 5 & 2 & 0 \\ 75 & 8 & -5 \\ 100 & 10 & 1 \\ 400 & 20 & 8 \\ 500 & 22 & -5 \\ 640 & 25 & 1 \\ 900 & 30 & 27 \\ 2600 & 50 & -87 \\ 5000 & 70 & -65 \\ 6500 & 80 & -48 \\ 9375 & 96 & -69 \\ 10000 & 100 & 10 \\ 25625 & 160 & 16 \\ 31250 & 176 & -219 \\ 40000 & 200 & 80 \\ 62800 & 250 & -143 \\ 65625 & 256 & 79 \\ 76000 & 275 & -166 \\ 90000 & 300 & 270 \\\hline \end{array}$$

$\frac{b}{a}=a.b$ si $(b)=0$ . Por ejemplo, $d(640)=1\neq0$ y $\frac{640}{25}=25.6$ .

También podemos buscar las soluciones a partir de $a,$ entonces $n=\lfloor\log_{10}a \rfloor+1$ o $n=\lfloor\log_{10}a\rfloor+2$ , $b=\frac{10^n a}{10^a-n}.$

Creo que alguien ha realizado una investigación y da una solución completa a este problema, porque el problema es muy interesante y natural, así que espero que me puedan dar una referencia o escribir una respuesta aquí, ¡gracias de antemano!

Answer 1

Asumo que requiere una fracción en términos más cortos, es decir $\gcd(a,b)=1$ . Para continuar desde $$ \frac ba= a+\frac b{10^n}\implies 10^nb=10^na^2+ab$$ vemos que no sólo $$ 10^n\mid 10^n(b-a^2)=ab$$ pero también $$ a\mid a\cdot(10^na+b)=10^n b$$ y $$ b\mid b\cdot(10^n-a)=10^n a^2.$$ Con $\gcd(a,b)=1$ esto implica $a\mid 10^n$ y $b\mid 10^n$ y (con los negativos excluidos) finalmente $(a,b)=(2^n,5^n)$ o $(a,b)=(5^n,2^n)$ o $(a,b)=(10^n,1)$ o $(a,b)=(1,10^n)$ . El último caso se excluye porque $b<10^n$ se requiere, el penúltimo caso se excluye porque lleva a $\frac ba<1<a+\frac b{10^n}$ . Así que queremos resolver $$ 10^n 5^n=10^n2^{2n}+2^n5^n\qquad\text{or}\qquad 10^n 2^n=10^n5^{2n}+5^n2^n,$$ o de forma equivalente $$ 5^n=4^{n}+1\qquad\text{or}\qquad 2^n=25^{n}+1.$$ La única solución es, efectivamente $n=1$ para la variante de la izquierda (y ninguna solución en la derecha).