Son todas las curvas elípticas de $w^3 = \text{cubic}(z)$ isomorfos?

Question

He estado jugando con las superficies de Riemann de cúbicas, y a mí me parece que todas las superficies obtenidas como revestimiento de la esfera de Riemann de las ecuaciones de la forma $w^3 = q(z)$ donde $q(z)$ es un cúbicos con tres diferentes raíces, debe ser isomorfo.

Argumento: tenemos un punto crítico de la multiplicidad de 3 en cada una de las raíces de $q(z)$. Monodromy alrededor de un pequeño circuito de la izquierda acerca de cualquiera de estos puntos se multiplica $w$ por la misma raíz cúbica de la unidad ($\neq 1$). Así monodromy alrededor de un circuito que encierra todas las tres raíces de $q(z)$ hojas de $w$ sin cambios, así que no hay puntos de ramificación $\infty$.

Ahora podemos mover las tres raíces de $q(z)$ a cualquier otro de la posición mediante una transformación de Möbius, así que por el párrafo anterior, debemos ser capaces de establecer una analítica isomorfismo entre las superficies a través de la continuación.

Es esto correcto? Si es así, ¿cuál es el J-invariante? Y ya que podemos elegir $q(z)=z^3-1$, esto significa que todas estas curvas han CM, derecha?

Referencias apreciado.

Answer 1

Esta es una buena observación!

Deje $E/\mathbb{Q}$ ser una curva dada por un modelo de $v^3=q(u)$, para algún polinomio cúbico $q\in\mathbb{Q}[u]$, y se supone que los proyectivas de cierre de este modelo, es decir, $V^3=W^3q(U/W)$, es suave, y tiene un punto racional $P$. A continuación, $(E,P)$ es una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$. Por otra parte, $E$ admite un endomorfismo $$[\rho] : E\to E$$ que envía a $[U,V,W]$ $[U,\rho V,W]$donde $\rho$ es una primitiva de la tercera raíz de la unidad. Por lo tanto, $\operatorname{End}(E)$ es estrictamente mayor que $\mathbb{Z}$, y por lo $E/\mathbb{Q}$ es una curva con complejo de la multiplicación. Además, $$\operatorname{End}(E)\otimes \mathbb{Q} \cong \mathbb{Q}(\rho),$$ y por lo tanto el complejo de la multiplicación es por un orden en el anillo de enteros de la cuadrática imaginario campo de $\mathbb{Q}(\rho)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. Es un hecho que se desprende de la teoría de los complejos de la multiplicación de que todas las curvas elípticas con complejo de la multiplicación por $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ ha $j$-invariante igual a $0$. De ello se desprende que todas las curvas elípticas de la forma $V^3=W^3q(U/W)$ son isomorfos $\mathbb{C}$ ($j$- invariante clasifica curvas elípticas hasta isomorfismo $\mathbb{C}$).

Por ejemplo, considere el $E: V^3=U^3-W^3$ (o $v^3=u^3-1$ afín coordenadas), con $P=[1,1,0]$. A continuación, $E$ es isomorfo a $$E': Y^2Z-9YZ^2=X^3-27Z^3$$ o $y^2 - 9y = x^3 - 27$ afín coordenadas, a través del mapa $\phi:E'\to E$ que envía $$\phi([X,Y,Z])=(Y-9Z,Y,3X),$$ que envía a $[0,1,0]$$[1,1,0]$. La curva de $E'$ ahora es fácil comprobar que han $j=0$ a través de las fórmulas usuales, y por lo tanto tiene complejo de la multiplicación por $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$.