$L^p$ espacios para arbitrario $1\le p\le\infty$ son uno de los pilares básicos de análisis funcional de los cursos, pero yo sólo he visto "en acción" al $p$ es 1, 2, o $\infty$. ¿Alguien puede dar una "primaria" ejemplo concreto de una aplicación de otro $L^p$ espacio?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El $L^p$-espacios con $p=1,2,\infty$ obtener la mayor atención debido a sus propiedades especiales: $L^2$ es de Hilbert, $L^\infty$ $L^1$ no son reflexivos, $L^\infty$ es no separable, $L^1$ no tiene predual, y así sucesivamente. Visto como llanura de los espacios de Banach, tal vez los espacios $L^p$, $p\not \in\{1,2,\infty\}$ son aburridas espacios con no especiales e interesantes propiedades.
$L^p$-espacios tienen sus usos en Sobolev teoría así: Allí, las funciones de $u$ con la primera (débil) derivados son asumidos en decir $L^p(\Omega)$, el espacio de la captura de este se llama $W^{1,p}$. En la teoría de Sobolev, el exponente $p$ tiene un papel crucial. Si, por ejemplo, $p$ es lo suficientemente grande ($p$ más grande que la dimensión espacial), a continuación, las funciones en $W^{1,p}$ tener una continua representante. Una aplicación de estos espacios es el de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales. Aquí, el valor del exponente $p$ es importante para la conclusión de la suavidad de la función debido a la incrustación de Sobolev teoremas.
bubba
Puntos
16773
Yo diría que hay muy pocas aplicaciones de los casos en donde la $p \ne 1,2, \infty$.
Un ejemplo: en $\mathbb R^2$$\mathbb R^3$, las bolas correspondientes a la $l^p$ normas son llamados super elipses y superquadrics. Estas son cosas que se forma de algo como los puntos suspensivos, pero con las esquinas que se convierten en "más aguda" como $p$ aumenta. Estos son a veces utilizados para el diseño de productos de consumo, esculturas, o las formas de los caracteres en las fuentes. Pero incluso esto es un estiramiento; usted puede obtener aproximadamente la misma libertad de diseño con curvas de Bézier y superficies, y que es lo que la mayoría de la gente estaría de uso, en la práctica.
Creo que la única razón por la que los casos donde se $p \ne 1,2, \infty$ mencionan en absoluto es que la gente no puede resistir la tentación de abstracción; nos encanta tener una gran unificación de las generalizaciones, en lugar de separar enumeraciones de casos especiales, incluso si esto significa más débiles resultados y embarrado de enfoque.
