¿Grupo fundamental de la botella de Klein, utilizando la acción de un grupo?

Question

Dejemos que $G$ sea el grupo de homeomorfismos de $\mathbb{R^{2}}$ generado por los dos elementos: $g:(x,y)\rightarrow (x+1,y),h:(x,y)\rightarrow(-x,y+1)$ .

Entonces está claro que este grupo es isomorfo a $G=\langle g,h | h^{-1}ghg\rangle$ .

Este grupo actúa sobre el grupo $\mathbb{R}^{2}$ y por lo tanto la proyección $\phi:\mathbb{R^{2}}\rightarrow \mathbb{R^{2}/}G$ es un espacio de cobertura para la botella de Klein. donde $\mathbb{R^{2}/}G=\lbrace G*(x,y)|(x,y)\in \mathbb{R^{2}}\rbrace$ .

Mi pregunta es si hay alguna forma de calcular el grupo fundamental de la botella de Klein utilizando el espacio de cobertura anterior.

Answer 1

El concepto que probablemente está buscando es el grupo de transformación de la cubierta de un espacio de cobertura. En este caso, su grupo $G$ resulta ser un compuesto invariante de la cobertura $\phi$ es decir, para todos los $\rho\in G$ la composición $\phi\circ\rho=\phi$ . De ello se desprende que, como $\mathbb{R}^2/G$ es el espacio orbital completo, debe ser que $G$ es el grupo de transformación de la cubierta completa para la cobertura $\phi$ .

Ahora, $\mathbb{R}^2$ es un espacio topológico simplemente conexo (de hecho es contractible) y por lo tanto no es sólo una cubierta sino una universal tapa de la botella de Klein. Las cubiertas universales tienen la bonita propiedad de ser siempre cubiertas regulares (la acción inducida del grupo de transformación de la baraja sobre la fibra de la cubierta es libre y transitiva) y así el grupo de transformación de la baraja $G$ es isomorfo al grupo fundamental $\pi_1(\mathbb{R}^2/G)$ de la botella Klein.

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La justificación de esta última afirmación es más fácil de describir utilizando la teoría de principio $G$ -fondos aunque esto puede estar un poco fuera del alcance de tu curso actual, así que no dudes en ignorar esto si te pierdes (creo que Hatcher da una muy buena explicación elemental del isomorfismo sin referencia a los haces, así que no dudes en consultar su libro de texto). Sin embargo, para completar, mostraremos que $G\cong\pi_1(\mathbb{R}^2/G)$ . Sea $F$ sea la fibra del mapa $\phi$ . El principio $G$ -Asamblea $\phi$ induce una secuencia exacta corta en homotopía $$\pi_1(\mathbb{R}^2)\stackrel{\phi_*}{\longrightarrow}\pi_1(\mathbb{R}^2/G)\longrightarrow\pi_0(F)\longrightarrow\pi_0(\mathbb{R}^2).$$ Ahora $\pi_1(\mathbb{R}^2)$ es trivial, y $\mathbb{R}^2$ es un camino conectado por lo que $\pi_0(\mathbb{R}^2)$ es trivial. Sabemos que $\pi_0(F)$ es en realidad un grupo e isomorfo a $G$ porque $\phi$ es un principio $G$ -de la red. Se deduce que tenemos la secuencia exacta corta $$0\stackrel{\phi_*}{\longrightarrow}\pi_1(\mathbb{R}^2/G)\longrightarrow G\longrightarrow 0$$ y así tenemos un isomorfismo inducido $\pi_1(\mathbb{R}^2/G)\stackrel{\cong}{\longrightarrow} G$ .

Answer 2

Obsérvese en primer lugar que los dos generadores de $G$ son isometrías, y por tanto cada elemento de $G$ es una isometría. Usa esto para demostrar que para cualquier $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ y cualquier $g,h\in G$ , $g\cdot(x,y)$ y $h\cdot(x,y)$ son como mínimo $1$ -de distancia. Esto se puede utilizar para demostrar que la acción es adecuadamente discontinua también.

En cualquier caso, consideremos a continuación el cuadrado unitario cerrado $S=[0,1]\times[0,1]$ . Ver que cualquier órbita de una acción tiene un representante en $S$ . Así, cualquier órbita es de la forma $\overline{(x,y)}$ donde $0\leq x,y\leq 1$ . Veremos que hay exactamente un representante si $0<x,y<1$ siempre que $(x,y)$ está en un borde de $S$ menos los vértices, y cuatro representantes de este tipo cuando $(x,y)$ es uno de los vértices de $S$ . Use esto para dibujar una biyección $\overline{\psi}$ entre la botella Klein $K$ y el espacio orbital. Obsérvese entonces que la restricción sobre $S$ del mapa cociente de $\mathbb{R}^2$ al espacio orbital (denotemos esta restricción como $\psi$ ) a través de la botella de Klein, y $\overline{\psi}\circ p=\psi$ donde $p$ es el mapa de identificación estándar de $S$ a $K$ . $\psi$ es continua y, por tanto, obliga a $\overline{\psi}$ sea continua. $\psi$ es por tanto una biyección continua desde la botella de Klein, que es un conjunto compacto a $\mathbb{R}^2/G$ . Prueba $\mathbb{R}^2/G$ sea Hausdorff. Esto puede hacerse eligiendo arbitrariamente dos órbitas de la acción y encontrando dos conjuntos abiertos saturados disjuntos en $\mathbb{R}^2$ cada uno de los cuales contiene uno de ellos. Sabemos que una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo, lo que demuestra que el espacio orbital es homeomorfo a la botella de Klein.