Computación $\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x$ con residuos de cálculo

Question

Esto se refiere de nuevo a la integral de la $\frac{\sin(x)}x = \frac\pi2$ ya publicado.
¿Cómo puedo llegar a $\frac\pi2$ usando el teorema de los residuos?

Estoy en el punto siguiente: $$\int \frac{e^{iz}}{z} - \int \frac{e^{iz}}{z},$$

y agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Desde $e^{iz}$ es pequeña en la mitad superior del plano, pero grande en la parte inferior, y $e^{-iz}$ es pequeña en la mitad inferior del plano, pero grande en la parte superior, usted no puede manejar ambos términos con el mismo contorno, por lo tanto usted debe separar las dos partes, y eso significa que usted obtiene un poste en $z = 0$ de la integral. Por lo tanto usted debe tratar el polo de alguna manera. Es una manera de cambiar el contorno de la integración de distancia desde el eje real como robjohn hizo. Otra forma es tratar la integral como principal valor de la integral.

Puesto que el integrando es real, tenemos

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx &= \operatorname{Im} \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{x}\,dx\\ &= \operatorname{Im} \lim_{\varepsilon\searrow 0} \int_{\lvert x\rvert \geqslant \varepsilon} \frac{e^{ix}}{x}\,dx\\ &= \operatorname{Im} \lim_{\substack{\varepsilon\searrow 0\\ R\nearrow\infty}} \int_{\varepsilon \leqslant \lvert x\rvert \leqslant R} \frac{e^{ix}}{x}\,dx, \end{align}$$

lo que nos permite considerar sólo un exponencial para el seno.

Para calcular la segunda integral, la que cierra el contorno por la adición de un semicírculo $C_\varepsilon$ radio $\varepsilon$ $0$ en la mitad superior del plano, y un semicírculo de radio $R$ $0$ en la mitad superior del plano, o tres segmentos de línea recta que conecta $R,R+iR$, $R+iR,-R+iR$ y $-R+iR,-R$ respectivamente; llame a la última contorno $C_R$, cualquiera de las dos que usted elija. Deje $C$ ser cerrado el contorno obtenido a partir de unirse a los dos intervalos en el eje real, $C_\varepsilon$$C_R$. Puesto que el integrando es holomorphic en un barrio de la región delimitada por $C$, Cauchy de la integral teorema afirma

$$\int_C \frac{e^{iz}}{z}\,dz = 0,$$

y por lo tanto

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = -\operatorname{Im} \lim_{\substack{\varepsilon\searrow 0\\ R\nearrow\infty}} \left(\int_{C_R} \frac{e^{iz}}{z}\,dz + \int_{C_\varepsilon} \frac{e^{iz}}{z}\,dz\right).$$

Por Jordan el lema, o de una escuela primaria estimar si elegimos la rectangular $C_R$, tenemos

$$\lim_{R\to\infty} \int_{C_R} \frac{e^{iz}}{z}\,dz = 0.$$

En cuanto a la parametrización $C_\varepsilon$$\varepsilon\cdot e^{i(\pi-t)}$, vemos

$$\lim_{\varepsilon \searrow 0} \int_{C_\varepsilon} \frac{e^{iz}}{z}\,dz = -\pi ie^{i\cdot 0} = -\pi i,$$

y, por lo tanto

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \pi.$$

Answer 2

Antes de que usemos $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$, debemos mover el contorno para que no se cruce con el origen. Una manera de hacer esto es utilizar el contorno $$ [-R,R]\cup\color{#C0C0C0}{[R,R-i]}\cup[R-i-R-i]\cup\color{#C0C0C0}{[-R-i-R]} $$ y aviso que desde $\frac{\sin(x)}{x}$ no tiene polos, la integral a lo largo del contorno es $0$. Por otra parte, la integral a lo largo de la atenuado piezas tienden a $0$ como el integrando es $\sim\frac1R$ a lo largo de una longitud de $1$. Esto nos dice que $$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x =\int_{-\infty-i}^{\infty-i}\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x $$ Ahora, podemos usar $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$. Vamos a utilizar los contornos $$ U=[-R-i,R-i]\copa del Re^{[0,i\pi]}-i $$ y $$ L=[-R-i,R-i]\copa del Re^{[0,-i\pi]}-i $$ Desde el integrands se desvanecen rápidamente en la circular partes, obtenemos $$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x &=\frac1{2i}\int_U\frac{e^{iz}}{z}\,\mathrm{d}z-\frac1{2i}\int_L\frac{e^{-iz}}{z}\,\mathrm{d}z\\ &=\frac1{2i}2\pi i-\frac1{2i}0\\[9pt] &=\pi \end{align} $$ Desde $U$ círculos de la pole en $0$ con residuo $1$ una vez a la izquierda, y $L$ no contiene polos.

Desde $\frac{\sin(x)}{x}$ es una función par, obtenemos $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x &=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac\pi2 \end{align} $$