Tomando la derivada bajo un principal valor de la integral

Question

Estoy interesado en mostrar que:

$$\frac{d}{dt}P \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\phi(x)}{x t}dt = P \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\phi(x)-\phi(t)}{(x-t)^2}dt$$

donde $\phi(x)$ es una función de prueba (va a cero en $-\infty$ $\infty$ rápido suficiente para que ya no tiene que preocuparse acerca de x no se va a cero lo suficientemente rápido)

El problema es que cuando intento esto:

$$\frac{d}{dt}P \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\phi(x)}{x t}dt = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{ -\frac{\phi(t+\epsilon)}{\epsilon}-\frac{\phi(t-\epsilon)}{\epsilon} +\int_{-\infty}^{t\epsilon}\frac{\phi(x)}{(x-t)^2} + \int_{t+\epsilon}^{\infty}\frac{\phi(x)}{(x-t)^2} \right\}$$

Pero no sé a dónde ir desde aquí... y no estoy seguro de que estoy en el camino correcto. El $\phi(t)$ plazo no parecen querer salirse.

Podría ser esto una especie de delta de dirac identidad que me falta?

Gracias!

Answer 1

Voy a suponer que usted está tratando de mostrar $$\frac{d}{d t} \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty dx \ \frac{\phi(x)}{x-t} = \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty dx \ \frac{\phi(x)-\phi(t)}{(x-t)^2}$$ Usando la definición de valor principal y la de Leibniz integral de la regla va a encontrar $$\frac{d}{d t} \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty dx \ \frac{\phi(x)}{x t} = -\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{2}{\epsilon} \phi(t) + \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty dx \ \frac{\phi(x)}{(x-t)^2}$$ A continuación, observe que $$\mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty dx \ \frac{1}{(x-t)^2} = \frac{2}{\epsilon}$$ El resultado se sigue inmediatamente.

Answer 2

Uno puede comenzar con $$\frac{d}{dt}P \; \int_{-\infty}^\infty \frac{\phi(x)-\phi(t)}{x-t}dx.$$