El comportamiento de ($\overline{a}_n)_{n=1}^{\infty}$ e ($\underline{a}_n)_{n=1}^{\infty}$

Question

He estado tratando de entender la siguiente definición y sólo necesitaba un poco de aclaración.

Para cada secuencia delimitada $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ definimos las secuencias de ($\overline{a}_n)_{n=1}^{\infty}$ e ( $\underline{a}_n)_{n=1}^{\infty}$ , de la siguiente manera:

\begin{eqnarray*} \overline{a}_n&=& \sup\left\{a_n,a_{n+1},\dots \right\},\\ \underline{a}_n&=&\inf\left\{a_n,a_{n+1},\dots\right\}. \end{eqnarray*}

¿Cómo esta definición implica que el $\overline{a}_n$ es decreciente y $\underline{a}_n$ es el aumento?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\bar a_2 = \sup\{ a_2, a_3, \cdots \} \le \sup\{ a_1, a_2, a_3, \cdots \} = \bar a_1$$

como el conjunto $\{ a_2, a_3, \cdots \}$ está contenido en $\{ a_1, a_2, a_3, \cdots \}$. De forma similar, tenemos $\bar a_{n+1} \le \bar a_n$ todos los $n$.

Answer 2

Intuitivamente, podemos pensar en $\limsup$ como hacer una cirugía en una secuencia $(a_{n})$ de esta manera: comenzamos por tomar $\sup$$(a_{n})_{n \geq 1}$; a continuación, elimine $a_{1}$ y tome $\sup$ del resto de la secuencia, es decir, tomar $\sup$$(a_{n})_{n \geq 2}$; delete $a_{2}$ y tome $\sup$ del resto de la secuencia, es decir, tomar $\sup$ $(a_{n})_{n \geq 3}$ ; repita este procedimiento una infinidad de veces.

A partir de lo anterior, podemos ver que, para cada $N \geq 1$, $N$th operación $(a_{n})$ da exactamente un número $\sup_{n \geq N}a_{n}$. Claramente, si $N_{1} < N_{2}$, $(a_{n})_{n \geq N_{1}}$ tiene más componentes que $(a_{n})_{n \geq N_{2}}$; por lo tanto, tenemos $\sup_{n \geq N_{1}}a_{n} \geq \sup_{n \geq N_{2}}a_{n}$.

Puede usted averiguar cómo $\liminf$ trabaja ahora? Funciona de la misma manera como la forma en $\limsup$ obras.

Answer 3

Si $A\subset B$$\sup A\leq \sup B$$\inf A\geq \inf B$. Por ejemplo, si $A=\{2,1,1/2,1/4,...\}$ $B=\{4,2,1,1/2,1/4,...\}$ $\sup A=2<4=\sup B$.......Si $A\subset B$, entonces cualquier cota superior para $B$ también es una cota superior para $A$.Por lo menos de los límites superiores para $B$ es uno de los límites superiores para$A$, pero tal vez no el menor de ellos.Del mismo modo para los límites inferiores.

Answer 4

También echa un vistazo a esta imagen de la Wikipedia del Límite Superior y el Límite Inferior de la página. Creo que puede impartir algunas intuición. Nota cómo la parte superior de la línea roja (sup) disminuye, mientras que la parte inferior (inf) aumenta.