La construcción de "patológico" medidas

Question

Un selfposed pero nunca resuelto problema:

Es posible encontrar una medida de espacio $(X, \mathcal{M} ,\mu )$ tal que el rango de $\mu$ es algo así como el conjunto de Cantor (es decir, un almacén, perfecto, innumerables, totalmente desconectado conjunto)?

Yo estaba pensando acerca de este problema hace algún tiempo y ahora, la lectura de algunos viejos MT post, volvió a mi mente.

Recuerdo que he resuelto un similar selfposed problema, mostrando que se puede construir una medida a lo largo de un intervalo cuyo rango es la unión de un número finito de intervalos disjuntos, pero la que aparece en la parte superior se resistió a mis esfuerzos.

Alguna idea?

P. S.: parece TeX etiquetas no funcionan, ¿no?

Answer 1

Recordemos que el conjunto de Cantor $C$ puede ser identificado con el conjunto de los números en $[0,1]$ admisión de un ternario de expansión que consiste enteramente de $0$'s y $2$'s. Tome $\mathbb{N}$ con la medida $\mu(n) = \frac{2}{3^{n}}$. A continuación, para cada subconjunto $A \subset \mathbb{N}$ tenemos $\mu(A) \in C$, y para cada $x = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \frac{2}{3^n} \in C$ $a_{n} \in \{0,1\}$ nos encontramos con $A$ $\mu(A) = x$ tomando $A = \{n \in \mathbb{N}\,:\,a_{n} = 1\}$.

Answer 2

Añadido: Después de publicar esto, me di cuenta de que el $n=1$ de los casos es bastante sencillo y no es necesario un gran teorema. De hecho, es un buen ejercicio para demostrar que cualquier no-atómica probabilidad de espacio admite un uniforme(0,1) variable aleatoria $U$. Para $0\leq \alpha\leq 1$, la $\lbrace\omega: U(\omega)\leq \alpha\rbrace$ tiene una medida de $\alpha$.

Este resultado es Corolario 1.12.10 (página 56) en Bogachev, la Teoría de la Medida del Volumen 1.

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Liapunov del teorema de convexidad implica (tome $n=1$) que el rango de cualquier finito no atómica medida es un compacto, convexo conjunto de $\mathbb{R}$.