¿Alguien sabe si se ha demostrado lo que el número máximo de puntos en$n$-dimensiones del espacio, para cualquiera de los dos puntos con la misma distancia？

Question

¿Alguien sabe si se ha demostrado lo que el número máximo de puntos en$n$-dimensiones del espacio, para cualquiera de los dos puntos con la misma distancia.

el caso de al $n=1$,es el máximo es de $2$

caso $n=2$, es claro que el máximo es de $3$,en otras palabras, los Tres vértices de un triángulo equilátero

caso $n=3$,es claro que el máximo es de $4$,que la media es de cuatro vértices de un positivo tetraédrica

por lo General,suponemos que el máximo de si $n+1?$

Answer 1

Sí, el resultado general es$n+1$, y los puntos que deben ser los vértices de un simplex. (La adición de la "... debe ser regular simplex parte" hace que sea fácil para mostrar esto por inducción).

Answer 2

Deje $X \subseteq \Bbb{R}^n$ ser tal que $d(v, w) = d > 0$ siempre $v, w \in X$$v \neq w$. Suponer sin pérdida de generalidad que $0\in X$ y deje $v_0 = 0$. Si $n = 0$, que se hacen: $\Bbb{R}^0 = X = \{v_0\}$. De lo contrario, $X$ tiene al menos dos elementos y podemos elegir el $v_1 \in X \backslash \{v_0\}$. A continuación, $v_1$ abarca un $1$-dimensiones subespacio $V_1$$\Bbb{R}^n$, y (por inducción) $V_1 \cap X = \{v_0, v_1\}$. Continuando inductivamente para $i \le n$ podemos encontrar $v_1, v_2, \ldots v_i \in X$ abarca una $i$-dimensiones subespacio $V_i$ tal que $V_i \cap X = \{v_0, v_1, \ldots, v_i\}$. Pero, a continuación,$V_n = \Bbb{R}^n$$X = V_n \cap X = \{v_0, v_1, \ldots, v_n\}$. Como Hagen von Eitzen puntos cada set $V_i$ se conforman los vértices de un regular $i$-simplex, pero que de hecho es irrelevante para la inducción, por lo que me interesaría saber por qué Hagen piensa que simplifica la prueba.