Busco una manipulación trigonométrica o algebraica sencilla para poder resolver este límite sin utilizar la regla de L'Hôpital $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x^2}{ \ln ( \cos x^2 \cos x + \sin x^2 \sin x)} = -2$$
enlace en wolframalpha. ¡Gracias por la ayuda!
Es bueno recordar la siguiente asintótica. $$\cos(x^2) = 1 + \mathcal{O}(x^4)$$ $$\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!}+ \mathcal{O}(x^4)$$ $$\sin(x^2) = x^2 + \mathcal{O}(x^6)$$ $$\sin(x) = x + \mathcal{O}(x^3)$$
Por lo tanto, obtenemos que $$\cos(x^2) \cos(x) = \left( 1 + \mathcal{O}(x^4) \right) \left( 1 - \dfrac{x^2}{2!}+ \mathcal{O}(x^4) \right) = 1 - \dfrac{x^2}{2!}+ \mathcal{O}(x^4)$$ $$\sin(x^2) \sin(x) = \left(x^2 + \mathcal{O}(x^6) \right) \left( x + \mathcal{O}(x^3) \right) = \mathcal{O}(x^3)$$
Por lo tanto, obtenemos que $$\cos(x^2) \cos(x) + \sin(x^2) \sin(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!}+ \mathcal{O}(x^3)$$ Por lo tanto, $$\ln(\cos(x^2) \cos(x) + \sin(x^2) \sin(x)) = \ln \left(1 - x^2/2 + \mathcal{O}(x^3) \right)$$
Además, recuerda que $$\ln(1+t) = t + \mathcal{O}(t^2).$$
Por lo tanto, $$\ln \left(1 - x^2/2 + \mathcal{O}(x^3) \right) = -\dfrac{x^2}{2} + \mathcal{O}(x^3)$$ Por lo tanto, $$\dfrac{\sin(x^2)}{\ln(\cos(x^2) \cos(x) + \sin(x^2) \sin(x))} = \dfrac{x^2 + \mathcal{O}(x^{6})}{-x^2/2 + \mathcal{O}(x^3)} = \dfrac{-2 + \mathcal{O}(x^4)}{1 + \mathcal{O}(x)}$$
Por lo tanto, $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x^2)}{\ln(\cos(x^2) \cos(x) + \sin(x^2) \sin(x))} = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 + \mathcal{O}(x^4)}{1 + \mathcal{O}(x)} = \dfrac{\lim_{x \to 0} \left(-2 + \mathcal{O}(x^4) \right)}{\lim_{x \to 0} \left(1 + \mathcal{O}(x) \right)} = -2$$
EDITAR A continuación se presenta un método ligeramente diferente.
Tenga en cuenta que $$\cos(x^2) \cos(x) + \sin(x^2) \sin(x) = \cos(x^2 - x)$$ Podemos reescribir $$\dfrac{\sin(x^2)}{\ln(\cos(x^2) \cos(x) + \sin(x^2) \sin(x))}$$ como $$\dfrac{\sin(x^2)}{\ln(\cos(x^2 - x))} = \dfrac{\sin(x^2)}{x^2} \times \dfrac{x^2}{\ln(\cos(x^2 - x))} = \dfrac{\sin(x^2)}{x^2} \times \dfrac{x^2}{\ln(1 - 2\sin^2((x^2 - x)/2))}$$ Utilizamos la identidad que $\cos(\theta) = 1 - 2 \sin^2 \left( \theta/2\right)$ . $$\dfrac{\sin(x^2)}{\ln(\cos(x^2 - x))} = \dfrac{\sin(x^2)}{x^2} \times \dfrac{-2\sin^2((x^2 - x)/2)}{\ln(1 - 2\sin^2((x^2 - x)/2))} \times \dfrac{x^2}{-2\sin^2((x^2 - x)/2)}$$ Ahora tenemos $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \dfrac{-2\sin^2((x^2 - x)/2)}{\ln(1 - 2\sin^2((x^2 - x)/2))} = 1$$ $$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2}{-2\sin^2((x^2 - x)/2)} = -2$$ Si los juntamos de nuevo, obtenemos $-2$ .
Recordemos la ley de la resta $$\cos(s-t)=\cos s\cos t+\sin s\sin t.$$ Eso mejora el denominador a $\cos(x-x^2)$ . Queremos tomar el logaritmo de eso. Es agradable expresar el coseno como $\sqrt{1-\sin^2(x-x^2)}$ . Tome el logaritmo, que es $(1/2)\ln(1-\sin^2(x-x^2))$ . Así que tenemos un $2$ en la parte superior, y quiere encontrar el límite de $$\frac{\sin(x^2)}{\ln(1-\sin^2(x-x^2))}.$$ Para terminar, necesitarás saber algo sobre el comportamiento de $\frac{\ln(1-u)}{u}$ como $u$ se acerca a $0$ de la derecha. Si sabe que este límite es $-1$ entonces podemos dividir la parte superior e inferior por $\sin^2(x-x^2)$ y ya casi hemos terminado. Puedo hacer los detalles si el acabado no es obvio.
Recurriendo a algunos límites elementales obtenemos inmediatamente la respuesta final. Uno de ellos es $\lim_{x\rightarrow 0} \ln(1+x)^\frac{1}{x}=1$ y el otro es $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2}=-\frac{1}{2}.$ Por lo tanto, tenemos eso:
$$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin (x^2)}{ \ln ( \cos (x^2) \cos x + \sin (x^2) \sin x)} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin (x^2)}{ \ln ( (\cos (x^2) \cos x)(1 + \tan (x^2) \tan x))}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{\ln{\cos(x^2)\cos(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{\cos(x^2)\cos(x)-1}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}{\frac{\cos(x)-1}{x^2}+\cos{x}\frac{\cos(x^2)-1}{x^2} }=\frac{1}{-\frac{1}{2}+0}=-2.$$
OBSERVACIÓN: $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos(x)-1}{x^2} \frac{\cos(x)+1}{\cos(x)+1} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\sin^2(x)}{2x^2}=-\frac{1}{2}$$ (no se utiliza la regla de L'Hopital)
También fíjate en eso:
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{\ln{\cos(x^2)\cos(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{\frac{\ln(1+(\cos(x^2)\cos(x)-1))}{\cos(x^2)\cos(x)-1} (\cos(x^2)\cos(x)-1)}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x^2)}{ \cos(x^2)\cos(x)-1}$$
Aquí aplicamos el límite trivial: $\lim_{u\rightarrow 0} \frac{\ln(1+u)}{u}=1$
La prueba es completa.
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x^2}{ \ln ( \cos x^2 \cos x + \sin x^2 \sin x)} = ?$$
Sugerencia :
$$\cos (x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$$
Así que:
$$(\cos x^2 \cos x + \sin x^2 \sin x)=\cos(x^2-x)$$
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x^2}{ \ln (\cos(x^2-x))} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\dfrac{\sin x^2}{\cos(x^2-x)-1}}{\dfrac{ \ln (1+(\cos(x^2-x)-1))}{\cos(x^2-x)-1}} = ? $$
$$ \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^2}{\cos(x^2-x)-1}=\dfrac{\sin x^2}{x^2}\times \dfrac{x^2}{\cos(x^2-x)-1}\times \dfrac{\cos(x^2-x)+1}{\cos(x^2-x)+1} =-2$$
así :
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x^2}{ \ln ( \cos x^2 \cos x + \sin x^2 \sin x)} = -2$$
nota que :
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1=\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$$
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