Las secuencias de los Racionales y Irrationals

Question

1. Deje $(x_n)$ ser una secuencia que converge al número irracional $x$. Debe ser el caso que $x_1, x_2, \dots$ son todos irracional?

2. Deje $(y_n)$ ser una de las secuencias que converge al número racional $y$. Debe $y_1, y_2, \dots$ todo ser racional?

Este fue uno de mis mitad de período preguntas de ayer y sólo quería aclarar mis respuestas. Para (1), me dijo que NO y como contraejemplo, dio la secuencia

$$ (x_n) = (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, \puntos) $$

que converge a $\pi$ (tenga en cuenta que cada una de las $x_j \in \mathbb{Q}$ ya que es un decimal finito de expansión). Para (2), me dijo que SÍ, pero no estaba seguro de cómo demostrarlo.

Alguien podría comprobar estas respuestas y si estoy en lo correcto acerca de (2), ofrecen una prueba de por qué debe ser cierto.

Answer 1

Ambos deben ser no. Para (2), solo hay que dividir por $\pi$ de tu primer ejemplo.

Answer 2

Lema 1: Para cualquier número real $x$, existe una secuencia de números racionales $(x_n)$ tal que $\lim (x_n) = x$.

Prueba: tome por ejemplo, $x_n$ a la expansión decimal de $x$ trunca a $n$ dígitos.

Lema 2: Para cualquier número real $x$, existe una secuencia de números irracionales $(y_n)$ tal que $\lim (y_n) = x$.

Prueba: La idea es comenzar con racionales y "ajustar" a ser irracional sin cambiar el límite. Esta es una técnica común en el análisis: tomar una secuencia que converge donde quieras, pero no tiene la propiedad que usted desea, y ajustar en otra secuencia con el mismo límite y con la propiedad deseada. Tome $(x_n)$ a partir del lexema $n$ y definen $y_n = x_n + \frac{\sqrt 2}{n}$. Desde $\sqrt 2$ es irracional, cada $y_n$ es irracional. Desde $\lim (x_n) = x$$\lim \big(\!\frac{\sqrt 2}{n}\!\big) = 0$,$\lim (y_n) = x$.

La propiedad "para cualquier $x$, hay una secuencia que converge a$x$, y toma valores en el conjunto $S$" es conocido como "$S$ es densa". Estos lemas (que son un poco más fuertes que las propiedades en su ejercicio) muestran, respectivamente, que $\mathbb Q$ $\mathbb R \setminus \mathbb Q$ son densos en $\mathbb R$.

Answer 3

Para (1), observamos cómo la $\mathbb{R}$ se construye normalmente como el conjunto de todos los límite finito de puntos de secuencias en $\mathbb{Q}$. Así que no sólo es (1) mal, usted tiene que para cada $x \in \mathbb{R}$ hay una secuencia $(a_n)$ $\mathbb{Q}$ tal que $\lim_{n\to\infty}a_n = x$.

Para (2) - si eso era cierto, entonces sólo secuencias de números racionales podría converge a cero. Sin embargo, en lugar obviamente, $\lim_{n\to\infty} \frac{\alpha}{n} = 0$ por cada $\alpha \in \mathbb{R}$.

Answer 4

He aquí un conjunto de números que el enfoque de $1$, y sin embargo todos son irracionales:

$(1.31415926\dots,1.03141592\dots,1.00314159\dots,1.00031415\dots,\dots)$