Los 8 cubos más pequeños para cubrir un tetraedro regular

Question

Un tetraedro regular $T$ de la longitud del borde $ \sqrt {2}$ cabe dentro de un cubo de la unidad:

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          (Imagen de MathWorld .)

Esto significa que $8$ cubos de longitud lateral $ \frac {1}{2}$ puede cubrir este regular tetraedro $T$ . Note el volumen de $T$ es $$ \frac {1}{12} \sqrt {2} \sqrt {2}^3 = \frac {1}{3} \;,$$ tanto del volumen del cubo de la unidad es "desperdiciado".

Q. ¿Cuál es el más pequeño $s$ de tal manera que $8$ cubos de longitud lateral $s$ puede se colocan en el espacio de manera que su unión cubre $T$ el tetraedro regular de longitud lateral $ \sqrt {2}$ ?

El $8$ Los cubos pueden superponerse unos a otros. "Cubrir" significa cubrir el volumen (no sólo la superficie) de $T$ . Es $s= \frac {1}{2}$ el óptimo?

Answer 1

Un método consiste en dividir el tetraedro en 8 secciones idénticas o en dos conjuntos de 4 secciones idénticas y, a continuación, encontrar el cubo delimitador más pequeño a medida que las secciones se giran aleatoriamente. Para 8 cubos, aún no he podido superar 1/2.

Cubrir un tetraedro de arista 2 con Los cubos de 4 unidades son fáciles (enlace al código). Con algunos giros y optimización, el tetraedro puede ser cubierto con 4 cubos con longitud de arista 0,969975. Esto puede mejorarse permitiendo que los cubos interactúen.

Tenga en cuenta que la pregunta para la mejor manera de cubrir un triángulo con dos cuadrados no se resolvió correctamente hasta 2009. En lugar de saltar a 8 cubos, sería mejor resolver primero 2 cubos, 3 cubos y 4 cubos.

Para un tetraedro con longitud de arista 2 ...
1 cubo de longitud de arista 1,41421356237309504
2 cubos de longitud de arista 1,41421356237309504 (??)
3 cubos de longitud de arista 1,3233 (abajo)
4 cubos de longitud de arista 0,969975 (arriba)
5 cubos de longitud de arista .848528 (abajo)

Aquí hay una imagen para 3 cubos. El tetraedro tiene como base el triángulo ABC. Un cubo cubre los puntos A, D, medio-AB, medio-AC, y el centro de la base. Pero es probable que se pueda mejorar desplazando los puntos a mitad de AB, mitad de AC.

Cinco cubos parece tener una solución sencilla.