Propiedad de 111.111

Question

Mientras jugaba con mi calculadora, noté el siguiente patrón.

$1^2-0^2=1$

$6^2-5^2=11$

${20}^2-{17}^2=111$

${56}^2-{45}^2=1{,}111$

${156}^2-{115}^2=11{,}111$

Para mí, aquí es donde se pone interesante:

$344^2-85^2=556^2-445^2=356^2-125^2=111{,}111.$

Mi pregunta: Es $111{,}111$ el primer número con sólo $1$ s como dígitos que pueden ser representados como una diferencia de $2$ cuadrados en $3$ de diferentes maneras? O, ¿puede $1,11,111,1111\, \mathrm {or}\,11111$ se escribirá como $u^2-v^2=w^2-x^2=y^2-z^2$ donde $u,v,w,x,y,z$ son todos únicos?

Me falta el conocimiento para escribir un programa de ordenador que compruebe las posibles soluciones para mí. ¿Puede alguien probar que los números anteriores no pueden ser escritos como yo lo he dicho o encontrar un contraejemplo?

Answer 1

Sea $a$ sea un número impar con $d$ divisores (por lo que para un primo como $a=11$ tenemos $d=2$ y para $a=111=3\cdot 37$ tenemos $d=4$ etc.). Luego están $d$ formas de escribir $a=u\cdot v$ con $u,v\in\Bbb N$ y $\frac d2$ de estos tienen $u<v$ (bueno, $\frac{d-1}2$ para cuadrado $a$ ). Cada una de estas factorizaciones da lugar a una solución $a=x^2-y^2$ con $x=\frac{u+v}2$ , $y=\frac{v-u}2$ (y viceversa: $a=x^2-y^2$ implica $a=uv$ con $u=x-y$ y $v=x+y$ ). Así que su pregunta es realmente Entre los números $1, 11, 111, \ldots$ ¿cuál es el primero con seis o más divisores? Como $111=3\cdot 37$ , $1111=11\cdot 101$ , $11111=41\cdot 271$ y $111111=3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37$ confirmamos que $111111$ es el primer número de este tipo y, de hecho, tiene $16$ tales soluciones: $$\begin{align}111111&=55556^2 - 55555^2\\ &=18520^2 - 18517^2\\ &=7940^2 - 7933^2\\ &=5056^2 - 5045^2\\ &=4280^2 - 4267^2\\ &=2656^2 - 2635^2\\ &=1700^2 - 1667^2\\ &=1520^2 - 1483^2\\ &=1444^2 - 1405^2\\ &=760^2 - 683^2\\ &=656^2 - 565^2\\ &=556^2 - 445^2\\ &=460^2 - 317^2\\ &=356^2 - 125^2\\ &=344^2 - 85^2\\ &=340^2 - 67^2 \end{align}$$

Answer 2

Todos los números hasta $11111$ tienen como máximo $2$ factores primos y por lo tanto estos números no se pueden expresar como diferencia de cuadrados de 3 maneras diferentes.

Esto se deduce de $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ y con a lo sumo 2 factores primos y por supuesto $1$ y sí mismo, sólo hay $2$ formas de escribir $a+b$ , $a-b$ .

$11$ es primo, $111 = 37 \times 3$ , $1111 = 11 \times 101$ y $11111 = 41 \times 271$ .

De hecho, $111111 = 3 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37$ por lo que se puede expresar como diferencia de cuadrados de muchas maneras. (Puedes calcular que son 16 o utilizar una fórmula conocida).

Más explicaciones (Respondiendo a los comentarios)

Toma $111111 = 3 \times 37037 = a^2 - b^2$ entonces $a+b = 37037$ , $a-b = 3$ obtenemos $a = 18520$ , $b = 18517$ . Podemos continuar este ejercicio para todas las factorizaciones de este número y, como ya se ha dicho, hay $16$ tales formas, por lo que la factorización prima sí importa.

Answer 3

Obsérvese que, si tomamos $(s_n)=(1, 11, 111, 1111, \cdots),$ entonces podemos ver fácilmente que $$s_n=\dfrac{10^n-1}{9}$$ y esto nos lleva a encontrar el número de solución para la ecuación diofantina $\dfrac{10^n-1}{9}=x^2-y^2.$ Desde $9=3^2$ este reducido a $$10^n=u^2-v^2+1$$ donde ambos $u$ y $v$ son múltiplos de $\color{Green}{3}.$

En general, para cualquier $n\in\Bbb{N},$ $10^n-1$ tiene dos factores $p, q$ tal que $p\gt q\ge 1$
satisfaciendo $$10^n-1=u^2-v^2=(u-v)(u+v)=pq.$$ Por lo tanto, podemos tomar $$u=\dfrac{p+q}{2} ,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\ v=\dfrac{p-q}{2}.$$ Ahora,

Para $n=1$ : $$9=3^2 \,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\, (p, q)\in\{(9,1),(3,3)\}.$$ Para $n=2$ : $$99=3^2\times 11 \,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\, (p, q)\in\{(99,1),(33,3),(11,9)\}.$$ Para $n=3$ : $$999=3^3\times 37 \,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\, (p, q)\in\{(999,1),(333,3),(111,9),(37,27)\}.$$
Para $n=4$ : $$9999=3^2\times 11\times 101 \,\,\,\,\,\text{and}\,\,\,\,\, (p, q)\in\{(9999,1),(3333,3),(1111,9),(909,11),(303,33),(101,99)\}.$$
Y así sucesivamente. Finalmente elige $p, q$ que son múltiplos de $3.$ El número de estos pares resolverá su problema.

Answer 4

Si sólo desea comprobar $1, 11, 111, 1111, 11111$ . Intenta resolver la siguiente ecuación diofantina: $x^2-y^2 = a $ donde " $a$ " es una de $1, 11...$ por lo tanto la diferencia de cuadrados es $(x-y)(x+y)$ entonces factoriza a y lo siguiente es simplemente permutar los factos de $A.$

Para $a=1$ es obvio. $1=1\cdot 1$ Por lo tanto $(x-y)=1$ y $(x+y)=1$ Así que $x=1$ y $y=0$ es la única solución.

Para $x=11=11\cdot 1$ y $x+y \geq x-y$ entonces $ (x+y)=11$ y $(x-y)=1$ De ahí que sólo haya una solución.

Para $a=111=37\cdot 3\cdot 1$ estas son las posibilidades $(x+y)=37$ y $(x-y)=3$ ; $(x+y)=111$ y $(x-y)=1$ . Resuelve esto.

Para $a=1111$ lo mismo $1111=101 \cdot 11 \cdot 1$

Para $a=11111=271 \cdot 41 \cdot 1$

Siento no saber como escribirlo correctamente.