Mostrar la desigualdad de integrales (¿cauchy-schwarz?)

Question

$f:[0,1]\to\mathbb{C}$ continua y diferenciable y $f(0)=f(1)=0$ . Demostrar que $$ \left |\int_{0}^{1}f(x)dx \right |^2\leq\frac{1}{12}\int_{0}^{1} \left |f'(x)\right|^2dx $$ Bueno, sé que $$ \left |\int f(x)\cdot g(x)\ dx \right|^2\leq \int \left |f(x) \right|^2dx\ \cdot \int \left |g(x) \right |^2dx $$ y creo que debería usarlo, así que supongo que el término $g(x)$ tiene que ser una especie de $\frac{1}{12}$ pero no tengo ni idea de cómo puedo elegir g(x) para poder demostrar la desigualdad.

¿consejo?

Answer 1

Integrar por partes para obtener $$ \int_0^1 f(x)\,dx = -\int_0^1 (x-1/2)f'(x)\,dx, $$ y luego usar Cauchy-Schwarz: $$ \begin{align*} \left|\int_0^1 (x-1/2)f'(x)\,dx\right|^2 & \leq \int_0^1(x-1/2)^2\,dx\int_0^1|f'(x)|^2\,dx \\ & = \frac{1}{12}\int_0^1|f'(x)|^2\,dx \end{align*} $$