Grado de $\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}$ $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$

Question

Soy auto-estudio de campo de las extensiones. Corrí un ejercicio que no puedo resolver por completo. (Todavía no he comenzado a estudiar la teoría de Galois, y creo que este ejercicio no pretende ser resuelto utilizando, sólo en el caso):

El problema es:

a) Demostrar $\sqrt{2}+\sqrt[3]{5}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ de grado 6.

Hecho: sé que ha de grado $\leq 6$ porque $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{5})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$ a que grado 6; entonces me explícitamente encontrar el polinomio mediante la resolución de 6 de ecuaciones lineales del sistema, y Wolfram Alpha demostró irreductible (por cierto: ¿cómo puedo probarlo en la mano?). El polinomio es $t^6-6t^4-10t^3+12t^2-60t+17$.

b) ¿Cuál es su grado más de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$?

Es en esta parte b) que no puedo resolver. Por supuesto, su grado es $\leq 6$ en ambos casos, pero no sé qué otra cosa hacer.

Answer 1

Bruno: El grado más ${\mathbb Q}(\sqrt2)$ es de 3: Considere el $(x-\sqrt 2)^3-5$. Desde $\root 3\of 5$${\mathbb Q}(\sqrt 2)(\sqrt 2+\root 3\of 5)$, la única otra opción es que ya pertenece a ${\mathbb Q}(\sqrt 2)$. Pero esto es imposible, ya que su polinomio mínimo es $x^3-5$ ${\mathbb Q}$ ${\mathbb Q}(\sqrt 2)$ es una extensión de grado 2.

[ Por cierto, uno puede usar este y la torre de la ley, para demostrar que ${\mathbb Q}(\sqrt 2+\root 3\of 5)$ tiene grado 6 ${\mathbb Q}$. La irreductibilidad de su polinomio sigue a continuación, de forma gratuita. ]

Del mismo modo, el grado más ${\mathbb Q}(\root 3\of 5)$ es de 2.

Answer 2

Para la parte b, podemos encontrar el polinomio mínimo en ambos casos.

Considere la posibilidad de $a =\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}$$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$. Observe que

$ (x - \sqrt[3]{5})^2 -2 = 0$

es un polinomio de grado dos en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})[x]$ que $a$ es una raíz de. Sabemos que $a \notin \mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$, por lo que el grado de su polinomio mínimo debe ser mayor que 1, y ahora tenemos un polinomio de grado 2 que es una raíz, por lo que su polinomio mínimo debe ser que uno de los de arriba. Por lo tanto, $a$ tiene grado dos en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$.

Del mismo modo, considere la posibilidad de $a$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Observe que

$ (x - \sqrt{2})^3 - 5 = 0 $

es un polinomio de grado 3 en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]$ que $a$ es una raíz, y por lo tanto el polinomio mínimo, que debe dividir este polinomio, puede tener grado 2 o 3. Pero, si tiene grado dos, entonces se logra a partir de lo anterior, dividiendo por $x - a$. Llegamos por la división polinómica que

$ (x - \sqrt{2})^3 - 5 = (x - \sqrt{2} - \sqrt[3]{5})(-2 - \sqrt{2} \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25} + (-2\sqrt{2} + \sqrt[3]{5})x + x^2) $

y $-2 - \sqrt{2} \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25} + (-2\sqrt{2} + \sqrt[3]{5})x + x^2 \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]$ porque $x$ coeficiente no es en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Si lo fuera, entonces como $2\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, tendríamos que

$2 \sqrt{2} + (-2\sqrt{2} + \sqrt[3]{5}) = \sqrt[3]{5} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$

lo cual es imposible. Así que, cuadrática, polinomial no puede ser el polinomio mínimo de a $a$. Por lo tanto, el polinomio mínimo de a $a$ tiene grado 3.