Deje $X$ localmente compacto Hausdorff y no compacto. Los extremos.

Question

Deje $X$ ser localmente compacto Hausdorff y no compacto. Probar que si $X$ tiene un "final",$X^\wedge - X$ , (donde $X^\wedge$ es cualquier Hausdorff compactification), es un proceso continuo (=compacto, conectado).

Definición Deje $X$ ser un espacio topológico. Un "final" de $X$ asigna, a cada subespacio compacto $K$$X$, de un componente conectado a $eK$ de su complementar $X\setminus K$, de tal manera que $eK′\subseteq eK$ siempre $K\subseteq K′$.

Answer 1

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, supongamos $X=[0,\infty)\sqcup D$ donde $D$ es un infinito espacio discreto. A continuación, $X$ sólo tiene un final (la que viene de $[0,\infty)$, ya que cada componente conectado en $D$ es compacto). Pero usted puede compactify $X$ $X^\wedge=[0,\infty]\sqcup E$ para cualquier compactification $E$$D$, y, a continuación, $X^\wedge-X=\{\infty\}\sqcup (E-D)$ está desconectado.

Sin embargo, si asumimos $X$ está conectado y conectado localmente, entonces es cierto. En primer lugar, afirmo que para cualquier conjunto compacto $K\subset X$, $X-K$ tiene sólo un número finito ilimitado componentes (donde "unbounded" significa su cierre en $X$ no es compacto). Para probar esto, deje $L\subset X$ ser un conjunto compacto que contenga $K$ en su interior (una $L$ existe por la compacidad local de $X$). Tenga en cuenta que por el local de la conexión de cada componente de $X-K$ está abierto, y por tanto, por la compacidad sólo un número finito de componentes de $X-K$ puede intersectar $\partial L$. Pero si $A\subseteq X-K$ es un componente no acotada, no es la contenida en $L$ $A-L$ es un conjunto abierto no vacío. Desde $X$ está conectado, $A-L$ no puede ser cerrado en $X$. Pero $A$ es cerrado en $X-K\supseteq X-int(L)$, y por lo $\overline{A-L}$ es contenidas en $A$ y debe contener puntos de $\partial L$. Por lo tanto $A$ intersecta $\partial L$, y por los comentarios de arriba, esto significa que hay sólo un número finito de estos $A$.

Segundo, me dicen que si $K\subseteq K'\subset X$ son subconjuntos compactos y $A$ es una desenfrenada clopen subconjunto de $X-K$ (en particular, si $A$ es una desenfrenada componente de $X-K$), $A$ contiene una desenfrenada componente de $X-K'$. Para probar esto, deje $L\subset X$ ser un conjunto compacto que contenga $K'$ en su interior. Como en el anterior, sólo un número finito de componentes de $X-K'$ se cruzan $\partial L$. Por otra parte, el argumento del párrafo anterior muestra que cada componente de $X-K'$ que se cruza con $X-L$ debe también cruzan $\partial L$. Llegamos a la conclusión de que cada componente de $A-K'$ es contenido en $L$ o es uno de un número finito de componentes de $X-K'$ de intersección $\partial L$. Si todos estos un número finito de componentes están delimitadas, a continuación, $A-K'$ estaría limitada (ya que está contenido en la unión de $L$ y un número finito de conjuntos acotados). Esto es imposible, ya $A$ es ilimitado. Así, uno de los componentes de $A-K'$ es ilimitado.

Ahora sigue por un estándar de compacidad argumento de que si $A$ es una desenfrenada componente de $X-K$ para algunos compacto $K\subset X$, entonces no es un fin $e$ $X$ tal que $eK=A$. (Explícitamente, vamos a $F_K$ denota el conjunto de unbounded componentes de $X-K$ con la topología discreta. A continuación, un fin, es un punto en el producto $\prod_K F_K$ la satisfacción de ciertas identidades, y en el párrafo anterior muestra que cualquier número finito de esas identidades pueden ser satisfechos por un elemento del producto el envío de $K$$A$. La compacidad del producto a continuación se da un elemento de satisfacer todas las identidades.)

Ahora supongamos $X^\wedge$ es un compactification de $X$ tal que $X^\wedge-X$ está desconectado. Vamos a mostrar a $X$ tiene más de un final. Deje $C$ ser un vacío adecuado clopen subconjunto de $X^\wedge-X$. A continuación, $C$ $D=(X^\wedge-X)-C$ son distintos subconjuntos cerrados de $X^\wedge$, por lo que podemos encontrar distintos abrir conjuntos de $U,V\subset X^\wedge$ tal que $C\subset U$$D\subset V$. Entonces tenemos que $K=X^\wedge-(U\cup V)$ es compacto y contenida en $X$.

Ahora $X\cap U$ es una desenfrenada clopen subconjunto de $X-K$, así como se muestra arriba (tomando $K'=K$), debe contener una desenfrenada componente de $X-K$. Este componente no acotada, a continuación, se extiende a un final $e$ tal que $eK\subset U$. Pero por el mismo argumento con $V$ en lugar de $U$, también existe un final $e'$ tal que $e'K\subset V$. Por lo tanto tenemos dos extremos de $X$.

(El argumento anterior fue adaptado de la norma de la prueba de que si $X$ es localmente compacto Hausdorff, conectado, conectado localmente, entonces usted puede compactify $X$ mediante la adición de un punto para cada extremo de $X$. Esta prueba puede ser encontrado aquí, entre otros muchos lugares (la hipótesis de $\sigma$-compacidad utilizado no es fácilmente visto innecesario).)

Answer 2

Gracias a todos, creo que lo hice. Déjeme saber si usted encuentra algún error.

Deje $X$ localmente compacto Hausdorff y no compacta. Probar que si $X$ sólo tiene un final, a continuación, $X^{*} - X$ para cualquier compactification $X^{*}$ (Hausdorff) de $X$ es un continuo (=compacto, conectado).

Solución Desde $X^{*}$ es un Hausdorff compactification de $X$, $X^{*}$ es compacto Hausdorff. Ahora, desde la $X$ es localmente compacto, $X$ está abierto en $X^{*}$, lo $X^{c}$ es cerrado en $X^{*}$, por lo tanto, $K=X^{*}-X= X^{*} \cap X^{c}$ es cerrado en $X^{*}$ y por lo tanto compacto.

Suponga que $K$ se desconecta, entonces existe un $(U,V)$ separación de $K$ tal que $U$ s $V$ están cerrados, $K=U \cup V$$U \cap V=\emptyset$. Pero $X^{*}$ es normal, ya que es compacto Hausdorff, de modo que existe $C$ s $D$ abre de $X^{*}$ tal que $U \subseteq C$, $V \subseteq D$ y $C \cap D =\emptyset$. Deje $W=X^{*}-(C\cup D)$. Se observa que el$W \subseteq X$, ya que \ $W=X^{*}-(C\cup D) \subseteq X^{*} \cap (U \cup V)^{c}= X^{*} \cap K^{c}=X^{*} \cap (X^{*}-X)^{c}=X^{*} \cap X =X$.\ Por otro lado $W=X^{*} -(C \cup D)= X^{*} \cap (C \cup D)^{c}$ es cerrado, ya que $(C \cup D)^{c}$ es cerrado. $X$ es Hausdorff y $W$ está cerrada, $W$ es compacto en $X$. \ Definir $U_{X} = C \cap X$$V_{X} = D \cap X$, y observar que están abiertos en $X^{*}$, (desde $X$ está abierto en $X^{*}$), por lo que están abiertos en $X$ y por eso $U_{X} \cap V_{X}=\emptyset$. Ahora vamos a calcular el complemento de $W$$X$. Tenemos que \begin{align*} X-W & = X-(X^{*}-(C \cup D))\\ & = X \cap (X^{*} \cap (C \cup D)^{c})^{c}\\ & = X \cap ((X^{*})^{c} \cup (C \cup D))\\ & = (X \cap (X^{*})^{c}) \cup (X \cap (C \cup D))\\ & = (X \cap C) \cup (X \cap D)\\ & = U_{X} \cup V_{X}\\ \end{align*}

Así, el complemento de a $W$ son dos distintos componentes conectados, lo que contradice el hecho de que $X$ sólo tiene un fin..

Por lo tanto, $X^{*} - X$ es un continuo.