En las páginas 1-2 de estas notas de Pete L. Clark se exponen tres versiones del teorema: http://math.uga.edu/~pete/4400AvisoChevalley.pdf
¿Podría alguien ofrecer alguna forma intuitiva de pensar en este teorema? Gracias.
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Ahora estoy interpretación de la pregunta como "¿Cómo podría uno llegar a creer que el Chevalley-Advertencia Teorema es verdadero?" (Más específicamente, voy a tratar de ponerme en Emil Artin zapatos cuando él estaba considerando este resultado en la década de 1930.)
Digamos que un campo de $K$ satisface la propiedad $C_1(d)$ si homogénea de la ecuación polinómica $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ $n$ variables de grado $d$ tiene una solución $(x_1,\ldots,x_n) \neq (0,\ldots,0)$ si $n > d$. A continuación, un campo es $C_1$ si $C_1(d)$ para todos los enteros positivos $d$.
Aquí están algunas observaciones acerca de esta propiedad:
1) Cualquier campo es $C_1(1)$: una ecuación lineal homogénea en al menos dos variables tiene una solución no trivial.
2) Supongamos que un campo de $K$ es tal que para todos los enteros positivos $d$, cada polinomio homogéneo en $n = d$ variables tiene un trivial cero. A continuación, $K$ es algebraicamente cerrado.
De hecho, si $K$ no es algebraicamente cerrado, se admite que para algunos $d > 1$ grado $d$ extensión de campo $L/K$. La norma forma asociada a $L/K$ es un polinomio homogéneo de grado $d$ $d$ variables que sólo tiene la solución trivial.
Esto explica la condición de que $n > d$: esto es necesario para ir más allá de algebraicamente cerrado campos.
3) Ahora echemos un vistazo a la propiedad $C_1(2)$ de un campo de $K$: esto nos dice que cualquier forma cuadrática en al menos tres variables a lo largo de $K$ es isotrópica: tiene una solución no trivial. Cuando la característica no es $2$, esto es equivalente a la siguiente: para cualquier $a,b,c \in K^{\times}$, la ecuación de $ax^2 + by^2 = c$ tiene una solución $(x,y) \in K^2$. (En otras palabras, cualquier plano cónica tiene un $K$-racional). Este tipo de ecuación en la que se estudió el número de teóricos, al menos desde Fermat en el 1600. Legendre, por ejemplo, sabía muy bien que el campo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ esto $C_1(2)$ de la propiedad. Es posible dar una muy elemental en la prueba mediante el recuento de los argumentos: reescribir la ecuación como $ax^2 -c = by^2$ y observe que el lado izquierdo y lado derecho de cada carrera a través de $\frac{p-1}{2} + 1 = \frac{p+1}{2}$ elementos distintos de a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, por lo que debe tomar un valor común. Esto demuestra Chevalley-Advertencia al $d = 2$ (y la característica es impar; que sin duda puede resultar en incluso característica por la fuerza bruta, si lo desea).
4) El siguiente caso de Chevalley-Advertencia es $d = 3$: es decir, cualquier ecuación cúbica en al menos cuatro variables a lo largo de un campo finito tiene un trivial cero. El estudio general del cúbicos superficies ya es muy duro, y no estoy seguro de qué obra clásica que había en este. Sin embargo, creo que cuando Artin conjeturó que el C-W se mantenga sabía acerca de la Naturaleza del resultado que un suave cúbicos ecuación en $3$-variables a lo largo de un campo finito tiene un valor distinto de cero punto racional. Aquí el número de ecuaciones y variables son iguales a $3$, y así por 2) por encima de este no puede sostener por todos cúbicos ecuaciones en tres variables: uno puede tomar a la norma de la forma de un cúbicos de extensión para obtener un contraejemplo.
Pero desde una perspectiva geométrica de este contraejemplo no es muy preocupante: más de la algebraicas de cierre, lo que uno tiene es de tres aviones de reunión en el origen, pero con el grupo de Galois de actuar de modo que no hay ningún componente que es racionalmente definidos sobre el campo de tierra. Por lo tanto, la única manera posible de $K$-puntos racionales son los puntos de intersección de los componentes que, si estás pensando affinely, son sólo el origen (y si estás pensando projectively, no hay puntos de intersección). Esto es muy diferente de un geométricamente irreductible cúbicos ecuación, a la que Hasse del Teorema se aplica.
Por otra parte, si se intenta construir geométricamente el mismo ejemplo de una dimensión superior, no funciona: si usted tiene tres hyperplanes en $K^4$ todo pasa por el origen, su intersección es una recta, no sólo un punto.
Así que creo que es al menos plausible que la Naturaleza del Teorema implica que un campo finito es $C_1(3)$. Tal vez usted podría probar esto a lo largo de las líneas dadas anteriormente: yo no lo he probado, pero sería interesante.
5) Otra cosa que puedes hacer, por supuesto, es elegir su favorito de los valores de $q,n,d$ y hacer la cantidad finita de los cálculos necesarios para ver si de hecho cada formulario de grado $d$ $n$ variables $\mathbb{F}_q$ debe tener un trivial cero. Presumiblemente Artin hizo algo de esto. En este sentido no puedo dejar de mencionar el Ejercicio 10.16 en Irlanda & Rosen clásico de la teoría de los números texto: "Mostrar el cálculo explícito de que cada forma cúbica en $2$ variables $\mathbb{F}_2$ tiene un trivial cero". Como muchos de los estudiantes han descubierto a lo largo de los años, el cálculo explícito, más bien demuestra que esto es falso: por ejemplo, $x_1^3 + x_1^2 x_2 + x_2^3$ no tiene no trivial de cero. Ver este MO respuesta para un poco más de esto: de hecho, es fácil demostrar que para cada campo finito $\mathbb{F}_q$ y cada una de las par $(n,d)$$n \leq d$, no es una forma más de $\mathbb{F}_q$ grado $d$ y en $n$ variables con sólo el trivial cero.
6) es fácil demostrar que cualquier $C_1$ campo ha de fuga Brauer grupo: para cualquier división central de álgebra $D$$K$, la reducción de la norma es un polinomio homogéneo en $d^2$ variables de grado $d$ solo con el trivial cero. La desaparición del grupo de Brauer de cada campo finito es equivalente a la afirmación de que cada finito de la división de anillo es un campo, un célebre 1907 teorema de Wedderburn que Artin fue sin duda muy familiarizados con. Esta propiedad es en realidad más débil de lo $C_1$ en el sentido de que ahora sabemos de los campos que han de fuga grupo de Brauer de cada extensión finita pero no $C_1$ (creo que los primeros ejemplos fueron construidos por Ax), pero para "familiar" de los campos de las dos propiedades tienden a ser equivalente. Por lo tanto esto da al menos una gran cantidad de ejemplos no triviales de Chevalley-Advertencia.
Más allá de eso, me parece que Artin hecho bastante atrevida conjetura de aquí, a menos que él sabía más de lo que él dejó. Quizás vale la pena señalar que él también conjeturó que todos los $p$-ádico de campo tiene la propiedad $C_2$ (de una forma homogénea en $n$ variables de grado $d$ tiene un cero no trivial de si $n > d^2$) y que la máxima abelian extensión de $\mathbb{Q}$ propiedad $C_1$. El ex conjetura fue finalmente demostrada la falsedad de Terjanian (aunque hay mucho de verdad en ella...), y la segunda conjetura sigue abierto a día de hoy, y no sé realmente de razones de peso a favor (o en contra).
Chris Benard
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1430
Casi al final de sus notas, Pete menciona algunas conexiones con $p$ -adic cohomología, que es un tema muy sofisticado de la geometría alebraica. Voy a esbozar cómo funciona esa conexión, y luego mostrar que en realidad se puede entender esta conexión usando "sólo" el nivel de geometría algebraica que se aprende en Hartshorne. Por supuesto, ¡la motivación que llega hasta el nivel de Hartshorne puede o no ser lo que estás buscando!
Para simplificar, tomemos el caso de un único polinomio $P$ que es homogénea de grado $d$ . (Ejercicio desafiante: Demostrar que demostrar CW en este caso implica el resultado completo en las notas de Pete).
Sea $Z_{aff}$ sea el número de $P$ en $\mathbb{F}_q^{n}$ . El centro de todas las pruebas que conozco es mostrar que $Z_{aff} \equiv 0 \mod p$ . Contemos ceros en el espacio proyectivo $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^{n-1}$ Llamamos a este recuento $Z_{proj}$ . Así que tenemos $Z_{aff} = (q-1) Z_{proj} +1$ y $Z_{aff} \equiv 0 \mod p$ sólo si $Z_{proj} \equiv 1 \mod p$ .
Sea $X$ sea la hipersuperficie $P=0$ en $\mathbb{P}^{n-1}$ . En el $p$ -Pete sketches, se definirían grupos de cohomología $H^i(X)$ para $0 \leq i \leq 2 \dim X = 2(n-2)$ . Estos vendrían con una acción del $q$ -poder Frobenius $F$ y tendríamos $$\# X(\mathbb{F}_q) = \sum_{i=0}^{2 \dim X} (-1)^i \mathrm{Tr} \left(F^* : H^i(X) \to H^i(X) \right).$$ Se demostraría entonces que el primer término es $1$ y los demás términos son divisibles por $p$ completando la prueba. Además, habría complicaciones derivadas del hecho de que $X$ puede no ser suave.
Sin embargo, no es necesario aprender estas complicadas teorías cohomológicas para demostrar cohomológicamente el teorema de CW. En su lugar, puede utilizar Fórmula del punto fijo de Fulton ¡! Esto dice: $$\# X(\mathbb{F}_q) \equiv \sum_{i=0}^{\dim X} (-1)^i \mathrm{Tr} \left( F^*: H^i(X, \mathcal{O}) \to H^i(X, \mathcal{O}) \right) \mod p$$
Aquí los grupos de cohomología son cohomología de gavilla, como se trata en Hartshorne. Obsérvese que el lado derecho sólo tiene sentido modulo $p$ . Una ventaja de esta fórmula, además de que utiliza una teoría cohomológica más elemental, es que no hay hipótesis de suavidad sobre $X$ .
Ahora, $H^0(X, \mathcal{O})$ es $1$ dimensional y la acción de frobenius es trivial, por lo que contribuye $1$ . Por el Teorema del hiperplano de Lefschetz , $H^j(X, \mathcal{O})$ desaparece para $0 < j < \dim X$ . Así que tenemos $$\# X(\mathbb{F}_q) \equiv 1 + (-1)^{\dim X} \mathrm{Tr} \left( F^*: H^{\dim X}(X, \mathcal{O}) \to H^{\dim X}(X, \mathcal{O}) \right) \mod p$$
Hasta ahora, no hemos utilizado ese $d<n$ . Utilizando esto, demostramos que $H^{\dim X}(X, \mathcal{O})$ se desvanece tan $\# X(\mathbb{F}_q) \equiv 1 \mod p$ y ganamos.
Un reto divertido es resolver el caso de que $d=n$ . El cálculo elemental en las notas de Pete muestra que $\#X(\mathbb{F}_q)$ es algo como $1$ más el coeficiente de $x_1^{q-1} \cdots x_n^{q-1}$ en $P^{q-1}$ . (Probablemente me he desviado por algún cartel.) Reto: Demostrar que, cuando $d=n$ , $H^{\dim X}(X, \mathcal{O})$ es unidimensional y el escalar por el que actúa Frobenius es el coeficiente de $x_1^{q-1} \cdots x_n^{q-1}$ en $P^{q-1}$ .
Judah Himango
Puntos
27365
No sé si esto es relevante, pero el teorema de Chevalley-Warning muestra que los campos finitos tienen una propiedad bastante importante que aparece en aplicaciones geométricas (en cohomología etale, por ejemplo).
Un campo $k$ se denomina C1 o cuasi-algebraicamente cerrado si todo polinomio en $n$ variables con coeficientes en $k$ y homogénea de grado $n>d$ tiene una raíz no trivial. Ser C1 significa que el campo Grupo Brauer es trivial y, en consecuencia, controla bastante el grupo de Galois: si el campo es C1, la cohomología de Galois de un módulo de torsión desaparece en grados $>1$ . Por eso es muy útil saber que un campo es C1.
Está claro que los campos algebraicamente cerrados son C1, pero hay otros tres ejemplos importantes:
- Campos finitos (teorema de Chevalley-Warning)
- Campo de grado de trascendencia uno sobre un campo algebraicamente cerrado (es decir, el campo de funciones racionales de una curva algebraica). Es el "teorema de Tsen".
- La extensión máxima no ramificada de un campo local (esto está en la tesis de Serge Lang).
En cambio, un campo como $\mathbb{R}$ no es C1, y de hecho su grupo de Galois absoluto $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ tiene cohomología de torsión en grados arbitrariamente grandes (es decir, todos pares).
